Vértices e direção de uma hipérbole

RKA2G - Qual dos gráficos a seguir pode representar a hipérbole y²/9 - x²/4 = 1? Temos aqui quatro alternativas. As alternativas A e C mostram a hipérbole aberta na direção vertical, para cima e para baixo. As alternativas B e D têm a hipérbole na direção horizontal, aberta para a esquerda e para a direita. E o que você pode observar nestas hipérboles é que elas têm diferentes vértices, além da direção delas. Sugiro que você pause o vídeo e tente, sozinho, descobrir qual das hipérboles corresponde à expressão dada acima. Temos várias maneiras de pensar sobre isso. Eu poderia começar pensando: qual é o centro desta hipérbole? Na equação, como temos simplesmente y² e x², nós já sabemos que o centro da hipérbole é o ponto (0, 0). Nós já sabemos que, se o centro da hipérbole está no ponto de coordenadas (h. k), sua equação teria esta cara: (y - k)²/9 (ou seja, é o y, menos a ordenada do centro), tudo ao quadrado, menos (x - h), que é a abcissa do centro, tudo ao quadrado, sobre 4, igual a 1. Comparando o que temos aqui com a equação dada, vemos que o "k" e o "h" são zero, portanto, o centro está na origem, no (0, 0). Podemos ver aqui que as quatro opções de hipérbole que temos têm o centro no (0, 0). Outra questão que você pode fazer aqui é se a abertura das hipérboles está na direção vertical (para cima e para baixo) ou na direção horizontal (à direita e à esquerda). Voltando à equação da hipérbole, vamos verificar que o termo que tem o sinal positivo é aquele que indica a direção de abertura da hipérbole. Neste caso, temos o termo envolvendo "y", que representa as ordenadas, com sinal positivo na frente. Então, a abertura da hipérbole é na direção vertical. Você poderia simplesmente memorizar essa informação, mas pode não ser satisfatório para o nosso trabalho. Sempre é bom saber por que isso funciona dessa forma. Veja que, se o termo que envolve "y" é positivo, se igualarmos o outro termo a zero, podemos resolver uma equação que nos dá o valor de "y". E observe que, para que o outro termo (ou seja, o que envolve "x") seja igual a zero, o valor de "x" tem que ser o mesmo valor da abcissa do centro da hipérbole, que, neste caso, é zero. Fazendo aqui, x = 0, este outro termo não vai aparecer e podemos resolver a equação y²/9 = 1. Vamos organizar aqui. Se "x" é igual a zero, que é a abcissa do centro da hipérbole, aquele termo do y²/4 não aparece mais e vamos ter a equação y²/9 = 1. Dali temos, portanto, que y² = 9 e "y" é igual a +3 ou -3. Isso nos leva à conclusão de que, se "x" é zero, ou seja, a abcissa de algum ponto da hipérbole é zero, as suas coordenadas podem ser 3 ou -3 e são coordenadas de pontos na hipérbole. E isso nos diz que a abertura da hipérbole está na direção vertical porque, se "x" for zero, que é a abcissa do centro da hipérbole, vamos ter "y" valendo 3 ou -3, o que determina estes dois pontos da hipérbole. Na alternativa A, enxergamos esses dois pontos: (0, 3) e (0, -3) se localizam na hipérbole. Na alternativa B, os pontos (0, 3) e (0, -3) não pertencem à hipérbole, o que confirma que a abertura da hipérbole está na direção vertical e não horizontal. E é essa ideia que confirma que, na equação da hipérbole, o termo que envolve "y" sendo positivo significa que a abertura da hipérbole está na direção do eixo y, na direção vertical, ou seja, para cima e para baixo. Se o termo que envolvesse "x" na equação da hipérbole fosse positivo, a abertura dela seria na direção horizontal, ou seja, para a direita e para a esquerda. Voltando à equação da hipérbole, se supusermos "y" igual à ordenada do vértice, que neste caso é zero, este primeiro termo do y²/9 não apareceria e teríamos -x²/4 = 1. Multiplicando os dois lados por -1: x²/4 = -1, portanto, x² = -4. E x² = -4 (pensando, evidentemente, em números reais) não tem solução, o que significa que não vamos ter na hipérbole um ponto que passa pela ordenada "y" igual à ordenada do centro da hipérbole, ou seja, neste caso, y = 0. Algebricamente e e aqui no gráfico, verificamos que "y" nunca vai ser zero para compor um ponto desta hipérbole. Nestas alternativas, apenas B e D apresentam pontos em que "y" é zero. E o que você precisa ter bem claro neste momento é que, na equação da hipérbole, o termo positivo determina qual é a direção da abertura da hipérbole. Agora já sabemos que as alternativas A e C são candidatas para a hipérbole. Entretanto, apenas na alternativa A temos os pontos (0, 3) e (0, -3) pertencentes a ela. Na alternativa C, o ponto (0, 3) e o ponto (0, -3) não pertencem à hipérbole, portanto, não podem representar a equação acima. Então, a única alternativa razoável é a alternativa A. Até é o próximo vídeo!