Tangente comum de circunferência e hipérbole (1 de 5)

RKA3MP A circunferência x² + y² - 8x = 0 e a hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 se interceptam nos pontos A e B. A equação de uma tangente com inclinação positiva e comum à circunferência e à hipérbole é... Pois bem, vamos tentar visualizar primeiro o que eles estão pedindo. Eu acho que isso vai gerar múltiplos vídeos, mas vamos visualizar e aí a gente pode encarar esse problema. Então, essa circunferência aqui, eu vou completar o quadrado dessa equação em função do “x”, então x² menos 8x, ele tem também ali o mais y², eu vou deixar um espaço em branco ali só para a gente completar esse quadrado, e isso é igual a zero. Então, agora, eu vou adicionar, em ambos dos lados da equação, a metade desse termo, -8, elevado ao quadrado. E a metade de -8 vai ser -4. E -4 elevado ao quadrado é mais 16. Então, vou somar 16 em ambos os lados da equação. E isso aqui vai me permitir colocar esse termo do "x" aqui em um quadrado perfeito. Uma vez que é a mesma coisa que (x - 4)², e, aí, para terminar de escrever a equação, + y² = 16. E, agora, eu já sei que essa circunferência, aqui, tem como centro os pontos x = 4 e y = 0. E, além disso, o raio da circunferência vai ser igual a 4 também. 16 é a mesma coisa e 4². Agora vou desenhar essa circunferência, primeiro fazer aqui o eixo do "x", aqui o eixo do "x". Agora o eixo do "y", está aqui assim, o eixo do "y", e eu vou marcar o centro da circunferência, portanto, 1, 2, 3, 4, vai estar por aqui assim. Então, essa circunferência vai ter, mais ou menos, esse aspecto aqui. Aqui, a metade superior dela e a metade inferior desse jeito aqui. É mais ou menos assim. Esse vai ser o aspecto da circunferência. Agora, vamos olhar para a hipérbole. Se apenas olharmos aqui, o termo do "x²" é positivo e isso significa que a hipérbole será aberta para a esquerda e para a direita. A gente fez um monte de vezes isso nos vídeos sobre sessões cônicas para o caso de você querer fazer uma revisão. E o que eu quero saber aqui é onde essa hipérbole vai intersectar o eixo do "x". Então, quando y = 0, a gente tem que x²/9 tem que ser igual a 1, o que é a mesma coisa que dizer que o "x" é igual a mais ou menos 3. Logo, a hipérbole vai ter o seguinte aspecto, ela vai se abrir aqui para a direita assim, dessa forma aqui, e também para a esquerda aqui, 1, 2, 3, -3 aqui. E, aí, a hipérbole vai abrir dessa forma aqui. E, aqui no problema, quando ele fala nos pontos, A e B, ele está se referindo a esse ponto aqui, A, e a esse ponto aqui, B. E a questão que ele está fazendo aqui é a equação de uma tangente com inclinação positiva que é comum à circunferência e à hipérbole, ou seja, vai ser uma tangente em comum para as duas figuras. Quando ele me diz que a inclinação da tangente é positiva, isso quer dizer que ela não vai ter nenhuma inclinação negativa. Então, ela não pode estar nessa região aqui, senão ela vai dar uma inclinação negativa. Ela também não pode estar nessa região aqui do círculo, senão também ela vai dar uma inclinação negativa. Daí a gente vai se perguntar aqui: então onde é que está essa tangente? Será que ela pode estar aqui? Se ela estivesse aqui, ela seria tangente ao círculo, mas ela não seria tangente à hipérbole e, portanto, essa tangente, para ser positiva, ela vai ter que estar em algum lugar dessa região azul aqui. E, aí, quando eu fizer a tangente, ela vai interceptar a hipérbole em um ponto que está mais para lá assim. Só que a gente sabe que a hipérbole ela tem uma assíntota em algum lugar e a gente pode determinar onde vai dar essa assíntota. Nesse caso aqui, ela vai estar sempre com essa assíntota. E, como a gente sabe, a hipérbole vai estar sempre se aproximando cada vez mais dessa linha aqui, só que ela nunca vai encostar na linha, vai estar sempre, cada vez mais próxima, mas não vai encostar. Então, se você vier para cá, a hipérbole vai ter uma inclinação maior que a assíntota. Se você quer ser tangente a isso aqui, você tem que ter uma inclinação maior e qualquer coisa que venha dessa região aqui da circunferência em direção, aqui, à hipérbole vai ter uma inclinação menor, porque eles vão ter aqui que se encontrar em algum momento. Deixa eu desenhar de novo porque eu quero tornar isso daqui bem claro. Bom, a hipérbole, todo esse período dela aqui, tudo isso, sempre vai ter uma inclinação maior que essa reta assíntota. É isso que permite que a hipérbole sempre se aproxime cada vez mais da assíntota, mas nunca encoste nela. Então, a tangente vai ter que ter uma inclinação maior nessa região. Qualquer coisa que seja tangente à hipérbole nessa região vai ter que ter uma inclinação maior, mesmo que bem sutil, a inclinação tem que ser maior, certo? Então, se eu quiser desenhar uma tangente a partir dessa região aqui do círculo não vai funcionar, porque, para essa tangente daqui se encontrar com a hipérbole, obrigatoriamente, ela vai ter que ter uma inclinação menor que essa assíntota. Então, isso daqui não pode ser tangente a essa parte da hipérbole. Então, a única parte da hipérbole que a gente pode pensar em ter alguma reta tangente seria nessa parte aqui da hipérbole, sim ou não? Bem por aqui assim, não é? Então, se a gente encontrar uma reta que seja tangente, digamos, aqui nesse ponto, aí sim, aí nós encontraremos a nossa reta tangente com inclinação positiva, certo? Então, a nossa tangente com inclinação positiva seria algo assim. E, agora que a gente já tem essa visualização, no próximo vídeo, vamos tentar determinar como essa reta aqui na verdade vai se parecer, especialmente quando a gente diz que ela tem que ser tangente a essa circunferência, e também a essa hipérbole. Então, até o próximo vídeo.