Tangente comum de círculo e hipérbole (2 de 5)

RKA8JV Agora que nós já determinamos como essa reta tangente, que tem inclinação positiva, e é comum à circunferência e à hipérbole, vai se parecer, vamos fazer algumas restrições, principalmente à sua inclinação e ao ponto onde a reta corta o eixo ''y''. Essa reta vai ter como equação: y = mx + b. É uma reta, onde o ''m'' é a inclinação, e o ''b'' é o ponto onde a reta vai cortar o eixo do ''y''. Agora, vamos ver quais restrições vamos fazer ao ''m'' e ao ''b'', se essa reta aqui é tangente à essa circunferência. E aí você pode se sentir tentado a usar o cálculo para saber a inclinação de qualquer ponto sobre a circunferência, mas há uma maneira mais fácil de fazer isso, você apenas tem que perceber que se uma reta é tangente à uma circunferência, ela vai interceptar essa circunferência apenas em um único ponto. O que quero saber é onde essa equação e a equação da circunferência vão se interceptar. Eu vou me focar nisso nesse vídeo, e no próximo vídeo eu vou fazer a mesma coisa para a equação da hipérbole. Então, eu sei que a equação dessa reta tangente é y = mx + b, e a equação da circunferência, ele me dá aqui em cima, é x² + y² - 8x = 0. Portanto, vou escrever aqui. A equação da circunferência é x² + y² - 8x, tudo isso igual a zero. E o que nós podemos fazer é substituir essa expressão aqui, certo? Nessa equação de baixo, no lugar do ''y''. E aí sim, nós vamos poder descobrir quais serão as restrições que vamos fazer para o ''m'' e para o ''b'', para que nós tenhamos apenas uma única solução, e aí saibamos o ponto onde essa reta intercepta essa circunferência. Pois bem, eu sei que o ''y'' é igual a isso, então vou calcular quanto é o "y" ao quadrado, para poder substituir aqui depois. Então, elevando tudo isso daqui ao quadrado, eu vou ter que y² vai ser igual a m²x², eu estou elevando tudo isso daqui ao quadrado, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, que vai dar 2mbx, mais o quadrado do segundo termo, b². Para que eu fiz isso? Ora, como agora eu sei o valor do y², eu posso pegar toda essa expressão e substituir aqui no lugar desse ''y²'', certo? Então, nossa expressão, no caso para o valor do ''x'', vai ser x² mais isso tudo, que é o valor de y², então, m²x² + 2mbx + b², e ainda tem o -8x, tudo isso igual a zero. Agora posso pegar esses dois termos aqui, colocar o ''x'' em evidência, daí a gente vai ter, deixa eu escrever assim, (m² + 1)x², agora os nossos valores que têm apenas o ''x'' são esse e esse, portanto, mais (2mb - 8) multiplicado por ''x'', mais esse termo, que é o termo constante, estou fazendo laranja, então, mais b², tudo isso igual a zero. E agora eu posso usar a fórmula da equação quadrática, conhecida como fórmula de Bhaskara, para determinar a coordenada ''x'' desse ponto, onde a reta tangente e a circunferência vãos se interceptar. Como eu sei que esse ponto de intersecção é único, eu sei que o discriminante da equação quadrática, você se lembra da equação quadrática? Ela vai ser x = -b ± a raiz quadrada de b² - 4ac, tudo isso sobre 2a. Cuidado para não confundir esse ''b'' daqui com esse ''b'', esse aqui é apenas o ''b'' da fórmula da equação quadrática. E eu vou ter apenas uma única solução quando eu resolver isso daqui, se o discriminante, que é esse termo que está dentro da raiz, for igual a zero, não é isso? Porque aí, como você pode perceber, eu vou apenas somar e subtrair zero, já que a raiz quadrada de zero vai ser igual a zero, isso vai me dar apenas a solução -b/2a. Então, apenas revisando, se uma reta é tangente à uma circunferência, elas vão ter um ponto de intersecção que é único. Se houver algum outro ponto além desse, essa reta não vai ser tangente, e uma reta que não é tangente faria alguma coisa assim, cortaria em dois pontos ou mais. Nesse caso aqui, nós teríamos duas soluções, ou então, elas nem iriam se interceptar, seria algo assim, e aí nós não teríamos solução alguma, certo? O que significaria que esse termo aqui, o discriminante, seria um número menor do que zero. E como a gente sabe que essa reta que está em rosa é uma reta tangente, nós sabemos que haverá apenas uma única solução e por isso, o discriminante tem que ser igual a zero. Pois bem, vamos agora fazer as substituições apropriadas, tá? O ''b'' dessa fórmula vai ser esse termo que acompanha o ''x''. Cuidado para não confundir, novamente, eu peço para não confundir esse ''b'' com esse ''b'' aqui. Agora eu posso reescrever isso daqui né, de acordo com o que está pedindo aqui dentro, o discriminante, então b², eu vou ter (2mb - 8)², e aí eu continuo com -4 vezes o valor do ''a'', que é esse aqui, então -4(m² + 1), e isso ainda multiplica pelo valor do ''c'', que nesse caso é o b², então vezes o b², e tudo isso, como nós deduzimos agora há pouco, tem que ser igual a zero. Agora eu posso expressar esse ''b'' como uma função do ''m'''. Vamos ver se a gente consegue fazer isso, vamos expandir tudo isso aqui. Então, esse termo aqui, (2mb -8)² vai ficar 4m²b² menos duas vezes 8, que dá 16, vezes 2mb, vai dar 32mb mais o quadrado do segundo termo, que é 8, então mais 64, menos 4 vezes, no caso quando eu multiplicar o 4 por tudo aqui e também por esse b², eu vou ter 4 vezes m²b² menos 4b², não é isso? E tudo isso igual a zero. Agora, para nossa sorte, esse termo vai se cancelar com esse aqui, já que eu tenho 4m²b² menos ele próprio, -4m²b². Eu percebo também que eu posso dividir ambos os lados da equação por 4, e aí eu vou ter -32mb dividido por 4, -8mb, mais 64 dividido por 4, vai dar 16, menos 4 dividido 4, dá 1b², então, -b², tudo igual a zero. E agora eu posso resolver essa equação aqui para ''b'' em função do ''m''. Como eu vou fazer isso? Ora, eu posso perceber aqui que eu posso usar novamente a fórmula da equação quadrática, a fórmula Bhaskara, e aí sim eu vou ter uma restrição, eu vou saber o valor onde a reta vai cortar o eixo ''y'' em função da inclinação dessa reta. E depois, nós vamos fazer isso novamente para a hipérbole, e aí a gente vai dizer: ''ora, o valor dessa equação tanto para a circunferência quanto para a hipérbole tem que ser igual", e aí a gente resolve para encontrar a inclinação. Você vai perceber melhor isso nos próximos vídeos. Vamos fazer isso aqui primeiro. Pois bem, agora o que eu fazer aqui é multiplicar ambos os lados por -1, e aí eu vou ter: -b² vezes -1, b², -8mb² multiplicado por -1 + 8mb, e 16 vezes -1, -16, tudo isso igual a zero. Eu apenas multipliquei tudo por -1 e reorganizei. Agora, vamos resolver essa equação para achar o valor do ''b'' em função do ''m''. Então, o nosso ''b'', vou fazer a conta aqui, o nosso ''b'' vai ser igual a -8m, está aqui, esse valor, mais ou menos a raiz quadrada de b², que vai ser esse termo aqui ao quadrado, então 8²m² - 4 que multiplica o valor do ''a'', que nesse caso é 1, vezes o valor do ''c'', o ''c'' é -16, então, para facilitar a minha vida, eu posso colocar até o ''+'' aqui, já que menos com menos vai dar ''+'', mais 4 vezes 16, e tudo isso dividido por duas vezes valor do ''a''. O ''a'' aqui é igual a 1, então, 2 vezes 1 vai dar o próprio 2, e tudo isso vai ser igual a -8m ±, se eu olhar aqui dentro da raiz, 8² vai dar 64, e 4 vezes 16 também vai dar 64, então eu posso fatorar o 64, colocar em evidência, e quando eu extrair a √64 vai dar quanto? Vai dar 8, então, 8 raiz quadradada do que sobrou lá dentro, m² + 1. Vamos ver se está certo o que a gente fez aqui. Se eu colocasse esse 8 novamente lá dentro, esse primeiro termo ficaria 64m², exatamente o temos aqui, e aqui ficaria 64 vezes 1, que dá 64, exatamente o que temos aqui, beleza? Então está certinho, tudo isso dividido por 2. E agora, eu posso simplificar, essa equação toda aqui em cima, o que eu percebo que eu posso simplificar o 8 com o 2 aqui né, nos dois lugares, e eu vou ter então, -4m ± 4 vezes a raiz quadrada de m² + 1. Esse aqui vai ser o valor do ''b'', tranquilo? Esse valor é um valor possível para o ''b'', dado que aquela reta é uma reta tangente à circunferência. Bom, agora vamos pensar um pouquinho sobre o que nós achamos aqui. Olhando lá em cima, naquela reta tangente que eu desenhei, eu quero uma inclinação para essa reta que seja positiva, e dessa maneira como desenhei, esse valor do ''b'' tem que ser positivo, então esse ''b'' aqui eu posso escrever assim, eu quero um ''b'' que seja positivo, não é isso? Então, eu tenho que descobrir um valor para o ''b'', que é onde a reta vai interceptar o eixo do ''y'', que seja positivo. E, bem, do nosso problema, nós sabemos que esse ''m'' aqui é um valor positivo, já que a inclinação tem que ser, toda ela, positiva, e como esse -4 é um valor negativo, então quando eu multiplicar um positivo por um negativo, eu vou ter que isso daqui é negativo, e a minha única chance dessa expressão toda ser positiva, é se eu adicionar, se eu somar esse 4 vezes a raiz quadrada de m² + 1, não é isso? E aí, se eu observar direitinho, eu vou perceber que esse valor aqui, quando eu somar com esse valor, vai dar um valor positivo. Por que eu sei disso? Porque se eu extrair a raiz quadrada de m² + 1, essa raiz quadrada aqui vai dar um valor que é maior do que ''m'', já que a raiz quadrada de m² daria exatamente ''m'', então, a raiz quadrada de m² + 1 vai dar um valor maior que ''m'', e aí quando eu multiplicar por 4 e depois subtrair esse 4m aqui, o valor todo vai dar um valor positivo, então basta que uma analise b = - 4m + 4 vezes a raiz quadrada de m² + 1 Eu vou ficar por aqui nesse vídeo, e, no próximo, eu vou fazer exatamente a mesma coisa, só que dessa vez para a hipérbole. Eu sei que aquela reta tangente vai interceptar a hipérbole apenas em um único ponto, então, como essa reta é a mesma reta, tanto para a circunferência quanto para a hipébole, os ''b'' tem que ser iguais. Então, no próximo vídeo vai encontrar que o ''b'' vai ser igual a uma outra função de ''m''. E aí, basta que eu iguale essas duas equações e resolva para encontrar o valor do ''m'', certo? E quando eu resolver para o ''m'', eu vou ter o valor do ''b'', e dessa forma eu vou ter a reta tangente. Então, até o próximo vídeo!