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Tangente comum de circunferência e hipérbole (4 de 5)

2010 IIT JEE - Folha 1 Problema 45 - Tangente comum à hipérbole e à circunferência Parte 4. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV Pois bem, no último vídeo nós descobrimos as restrições para o ''b'' em função do ''m'', tudo isso para aquela reta que é tangente tanto à circunferência quanto à hipérbole. Só para deixar bem claro, no último vídeo eu peguei apenas valor positivo dessa raiz quadrada, porque eu quero que o ''b'' seja positivo, você lembra? Quando a gente percebe esse desenho aqui, você lembra que o desenhei isso no primeiro vídeo? E esse ''b'', ele precisa ser positivo, olha só. Só com ''b'' positivo essa reta tangente vai ser tangente tanto à circunferência quanto à hipérbole. Então, aqui embaixo, você definitivamente vai pegar raiz positiva, beleza? Dito isso, esse aqui é o valor do "b" para a hipérbole, e esse é o valor do ''b'' para a circunferência, então, podemos igualar um ao outro e resolver para encontrar o valor do ''m''. Resolvendo para o ''m'' vamos ter a inclinação da nossa reta tangente. Portanto, igualando uma à outra, eu vou ter a raiz quadrada de 9m² - 4, e isso será igual a -4m + 4 raiz quadrada de m² + 1. A primeira coisa que posso fazer aqui é elevar os dois lados ao quadrado. Desse lado, eu vou ter 9m² menos 4 igual a esse termo aqui, elevado ao quadrado, vai ser 16m² mais duas vezes o produto desses dois termos, então, 2 vezes 4, dá 8, vezes -4, vai dar -32m raiz quadrada de m² + 1, mais o quadrado desse termo aqui, que vai ser 16, que multiplica m² + 1. Agora vamos ver se a gente consegue simplificar isso um pouquinho mais. Esse termo aqui, já poderia escrever como 16m² + 16, reescrevendo tudo, aqui eu vou ter 9m² - 4 igual a 16m² mais 16m², que vai dar 32m² mais esse 16 aqui, menos 32m, que multiplica a raiz quadrada de m² + 1. Agora, eu posso subtrair 9m² em ambos os lados da igualdade, e também posso somar 4 em ambos os lados. Bom, na verdade vamos fazer de um outro jeito aqui, porque eu quero isolar aquele termo da raiz quadrada, então, o que eu vou fazer aqui vai ser subtrair 32m² em ambos os lados, certo? E também vou subtrair 16 em ambos os lados. Aqui, do lado esquerdo da igualdade, 9m² - 32m² vai dar -23m², -4 - 16 vai dar -20, e isso vai ser igual, como esses temos aqui vão ser simplificados, isso vai dar igual a -32m, multiplica, a raiz quadrada de m² + 1. Agora, o que nós podemos fazer é elevar ambos os lados ao quadrado, você vê que não é um problema muito limpo, mas tudo bem. Na verdade, antes de elevar ao quadrado, vamos multiplicar por -1 para deixar tudo positivo e facilitar um pouco a nossa vida. Quando eu elevar esse lado da esquerda ao quadrado eu vou ter (23m²)² mais duas vezes o produto desses dois termos, então, 2 vezes 20 vezes 23m² mais o quadrado desse termo, o quadrado de 20, que dá 400. E isso aqui vai ser igual a todo esse termo ao quadrado, que vai ser 32m² vezes, a raiz quadrada cancela com o quadrado, (m² + 1). Agora deixa eu ver que eu posso fazer aqui, é um problema um pouquinho grande para fazer os cálculos, mas eu vou reescrever isso daqui como sendo (23m²)² mais, 2 vezes 20, 40, 40 vezes 23, 23 vezes 4 dá 92, então aqui vai dar 920m² + 400, na verdade eu vou elevar tudo ao quadrado logo para ir diretamente ao ponto, né? Vamos fazer 23² aqui, 23 vezes 23, 3 vezes 3 é 9, 3 vezes 2 é 6, 3 vezes 2 aqui vai dar 6 também, 2 vezes 2 vai dar 4, então somando tudo isso, aqui vai dar 9, aqui dá 12, vai 1, 4 + 1, é 5, 529. Portanto, aqui vai dar 529m⁴ + 920m² + 400, isso vai ser igual: agora, vamos fazer aqui o 32², 32 vezes 32. Para fazer esse tipo de exame aqui, seria bom que você tenha decorado a tabuada até o 50, né? Você percebe aqui, que para entrar nessas escolas que são bem disputadas na Índia, eles fazem isso para você realmente ter um senso numérico legal, e quando a gente analisa os números, o primeiro colocado normalmente acerta 80% da prova, que é um número realmente incrível para quem consegue fazer essa prova em uma hora. Mas na verdade, para você conseguir passar, você tem que acertar aí em uns 50, 60%, desculpa se eu errei nos números, mas é bem por aí. Como são 200 mil, 300 mil pessoas fazendo esse exame, então, ele tem que selecionar de uma maneira para poder passar só aqueles melhores mesmo, né? E é isso aqui que eles fazem para poder separar as pessoas, as que sabem muito, das que não sabem. Aqui nós temos, então, 2 vezes 2, é 4, 3 vezes 2, é 6, 3 vezes 2 de novo vai dar 6, 3 vezes 3 é 9, somando tudo, aqui dá 4, aqui dá 12, vai 1, e aqui vai dar 10, 1.024. Bem, se fosse eu fazendo essa prova, você sabe que eu não gosto muito de decorar as coisas, mas seria bom se tivesse decorado aqui, pelo menos essa parte, de onde a reta tangente intercepta o eixo do ''y'' tanto na circunferência quanto na hipérbole. Mas eu não gosto da matemática memorizada, porque eu acho que na matemática, você tem que entender o que você está fazendo, ela é muito mais compreensão que decoreba, não é isso? Normalmente, na vida real você tem bastante tempo para fazer isso, aqui é apenas uma circunstância, mas de qualquer maneira vamos lá, continuando, aqui vai dar 1.024m² vezes m² + 1, ou simplificando mais ainda, fazendo a multiplicação, isso vai dar 1024m⁴ + 1.024m². E agora, o que eu vou fazer aqui é subtrair 529m⁴ dos dois lados da igualdade, algo extremamente tedioso, mas vamos fazer, né. Menos 529m⁴. Vou também subtrair aqui o 920m², então, menos 920m², menos 920m². E para tornar isso aqui um quadrado apropriado né, vou subtrair também o 400 do lado esquerdo, então, vou ter que subtrair também do lado direito, então, menos 400. Aqui, então, do lado esquerdo, isso tudo, vai me dar zero igual a 1.024m⁴ menos 529m⁴, 1.024 menos 524 vai dar 500, então, isso vai ser 5 a menos, 495m⁴, mais 1.024, menos 920, como dá perceber, vai dar 104, então 104m² - 400. Tudo isso aqui, como vocês estão percebendo, é igual a zero. Então, o que nós temos aqui é uma equação quadrática novamente, né? Você pode não estar reconhecendo, mas m⁴ é a mesma coisa que m², elevado ao quadrado de novo. Vamos agora resolver essa equação quadrática aqui. Tenho que m², se você quiser, você pode botar também o ''x'' no lugar daquele m² para ficar diretamente com a equação quadrática, mas dá para resolver assim também. Então m² vai ser igual a ''-b'', então -104 ± a raiz quadrada de b², que vai ser 104², um monte de matemática maneira aqui para a gente fazer né, menos 4 vezes o ''a'', que é 495, vezes o ''c'', que é -400. Então, eu posso fazer menos com menos, mais aqui, então, vezes 400, e tudo isso sobre 2a. E duas vezes 495 vai dar um resultado que é 10 unidades a menos que 1.000, sim ou não? Então isso vai dar 990. E nesse vídeo, eu vou parar por aqui né, porque a gente já está chegando no nosso limite, mas no próximo vídeo a gente vai resolver essa equação quadrática e ver quanto que isso vai dar, beleza? Então, até o próximo vídeo!