Tangente comum de circunferência e hipérbole (5 de 5)

RKA8JV Nesse ponto em que nós paramos, estamos na reta final, basta fazer esse monte de aritmética para a gente encontrar o valor do ''m''', que é a inclinação da nossa reta, e então depois encontrar o valor onde a reta vai cortar o eixo do ''y''. Como nós estamos calculando essa raiz quadrada, vamos fatorar tudo isso para ver se a gente consegue um resultado simplificado mais razoável, tá? Vamos começar fatorando o 104. O 104 é a mesma coisa que 4 vezes 26, não é isso? 4 vezes 25 vai dar 100, então, 4 vezes 26, 104. E 26 é mesma coisa que 2 vezes 13. Como estou elevando esse número aqui ao quadrado, logicamente, então, eu vou ter 4 vezes 4, vezes 2, vezes 2, vezes 13, vezes 13. Esse número, 104², vai dar isso aqui, escrevi todos os fatores duas vezes já que está elevado ao quadrado, não é isso? E a gente tem mais 4 vezes 495, que eu vou fatorar também. Portanto, 495 é divisível por 5, e 495 dividido por 5 vai dar 99, é ou não é? Porque 5 vezes 100 dá 500, então é 5 unidades a menos, logo, 5 vezes 99. E o 99 é 9 vezes 11. Portanto, o 495 pode ser fatorado como 5 vezes 9 vezes 11. E o 400, é bem direto, isso vai ser vezes 4 vezes 10 vezes 10, isso aqui dá 400. Então, toda essa expressão aqui, pelo que eu estou percebendo, ela tem um fator comum de 4 vezes 4 aqui, tem um outro 4 vezes 4 aqui, portanto, eu posso reescrever isso como sendo a √16 vezes a raiz quadrada dessas outras multiplicações aqui, então, isso vai ser 4 vezes 169, vamos fazer essa multiplicação aqui, de 4 vezes 169. Esse problema é um pouco dolorido de fazer, mas vamos lá. 13 vezes 13 vai ser 169, e 2 vezes 2 é 4, logo, 169 vezes 4. 9 vezes 4, 36, vai 3, 6 vezes 4 é 24, com mais 3, 27, vai 2. 1 vezes 4 dá 4, 4 mais 2 é 6. Portanto, essa multiplicação aqui vai ser 676. Agora, esses termos aqui, isso a gente sabe quanto é, certo? Vai ser 495 vezes 10 vezes 10, que é a mesma coisa que 100. E aí, quando eu multiplicar 495 vezes 100, basta eu repetir o 495 e colocar mais dois zeros, então 49.500. E então, eu posso escrever isso aqui como a √16, 4 vezes a raiz quadrada, repara que a gente está fazendo umas fatorações bem sérias, mas vamos lá. 49.500 mais 676, vai dar 50.176. Eu fiz de cabeça, porque eu sei que 176 eu posso pegar 500, somar com 49.500, vai dar 50.000, e aqui vai me sobrar 176, daí, quando soma, vai dar 50.176. E aí, a gente vai ter 4 vezes a raiz quadrada dessa coisa meio louca, 50.176. Vamos ver se a gente consegue fatorar, agora, aquele termo da raiz quadrada, o radicando. 50.176 me parece um número divisível por 4. Vamos calcular então essa divisão, 50.176 dividido por 4. Eu sei que 12 vezes 4 dá 48, então, quando eu subtrair 48 daqui, eu vou ter 2, aí baixa 1, 21 dividido por 4 vai dar 5, isso vai dar 20, quando subtrair, vai sobrar 1, baixa o 7. 17 por 4 vai dar 4, 4 vezes 4 é 16, então subtrai, vai dar 1, baixa o 6. 16 por 4 dá 4 novamente, e resta o zero. Portanto, vai ser 4 vezes 12.544. Novamente, esse número vai ser divisível por 4, basta olhar os dois últimos algarismos, como é 44 dá para dividir por 4, então, o número todo vai ser. Então, vai ser 4 vezes, deixa eu dividir aqui novamente só para não cometer nenhum erro bobo né, então, 12.544 dividido por 4. Eu poderia até fazer de cabeça, mas a gente chegou tão longe, eu não quero cometer nenhum errinho bobo. 12 dividido por 4 vai dar 3, então subtraio 12 aqui, dá zero, baixo o 5. 5 dividido por 4 dá 1, subtrai 4, vai dar 1, baixa o 4. 14 dividido por 4 vai dar 3, 3 vezes 4 é 12, subtraio 12, vai dar 2, baixa esse 4 aqui. 24 dividido por 4 dá 6, resta o zero. Então, deu 3.136. Novamente, esse número, é divisível por 4, já que 36 é divisível por 4, então vai ser 4 vezes quanto? Deixa eu vou fazer aqui em cima. 3.136 dividido por 4, sem cometer erro, né? 31 dividido por 4 vai dar 7, 7 vezes 4 é 28, então subtrai, dá 3, baixa esse 3 aqui. 33 dividido por 4 vai dar 8, 8 vezes 4 é 32, subtraio, vai dar 1 aqui, baixa o 6. 16 por 4 dá 4, resta o zero, então, deu 784. E mais uma vez, dá para ver que é divisível por 4, então, vai ser 4 vezes quanto? Agora está ficando mais fácil, vai ser 784 dividido por 4 7 dividido por 4 vai dar 1, sobra 3, baixa o 8. 38 dividido por 4 vai dar 9, 9 vezes 4 é 36, subtraio, vai dar 2, baixo o 4. 24 dividido por 4 dá 6, resta o zero, 196. E se você um dia for fazer essa prova do IITJEE, eu recomendo que você tenha o cálculo mental, vai ajudar bastante na hora de fazer essas contas aqui, já que parece que eu mesmo não sou suficientemente hábil para fazer essas contas de cabeça rápido o suficiente. Agora, eu acho que 196 é divisível por 16, vamos ver. 196 dividido por 16. 19 por 16 vai dar 1, subtraio 16, isso vai me dar 3, baixo o 6, 36 dividido por 16. Dá para perceber que não vai dar certo, então vamos voltar aqui. Vai ser divisível por 4, disso eu tenho certeza. 19 dividido por 4 dá 4, menos 16 vai dar 3, baixo o 6. 36 dividido por 4 dá 9, resta o zero, deu 49. Então, vai ser 4 vezes 49. Agora vai ser o seguinte, aqui eu tenho 4 elevado à quinta potência, é ou não é? 4⁵. Mas, na verdade, vai ser mais fácil se eu tirar a raiz quadrada de cada um desses fatores, porque todos eles são quadrados perfeitos. Então, vamos ver quanto vai dar isso. Isso vai dar 4 vezes, quanto vai dar aqui? A √4, raiz de 4, raiz de 4, raiz de 4, raiz de 4, vai dar 2 elevado à quinta potência, que é a mesma coisa que 32. Então 4 vezes 32, vezes a quadrada de √49, que é 7. E esse vídeo todo aqui é somente fazendo continha de aritmética e o meu cérebro já está fritando. Vamos fazer essa conta agora, tá? 32 vezes 4 vai dar quanto? 2 vezes 4 é 8, 3 vezes 4 é 12, então, 128. Nós ainda queremos multiplicar por 7, né? Então, vezes 7. 8 vezes 7, 56, vai 5. 2 vezes 7, 14 , mais 5 é 19, vai 1. 1 vezes 7 dá 7, 7 mais 1 é 8. Então, tudo que eu vou anotar de azul, tudo que está aqui, nessa parte toda, deu 876. Essa parte aqui toda, deu 896. E como a gente pode perceber, tem um ±, eu vou apenas pegar a parte do ''+'', apenas somar, porque a gente quer uma inclinação positiva. Daí a gente vai ter, então, que o m² vai ser igual a -104 + 896. Tudo isso aqui sobre 990, e quando eu subtrair o 104 do 896 vai dar 792/990. Esse é o valor do m², né? Pelo que eu estou percebendo, os dois termos aqui da fração são divisíveis por 9. Eu vou simplificar por 9, mas antes vou eu só apagar aqui. É um problema bem doloroso, eu espero que eu não tenha cometido nenhum erro, a gente fez um montão de conta, mas vamos ver. Espero chegar na resposta correta no final do vídeo, até porque, se eu encontrar resposta errada, eu vou ter que refazer esse vídeo todo. Então, vamos dividir ambos esses números por 9. 792 dividido por 9, vai dar 79 por 9, que dá 8, dá 72, subtrai, isso vai dar 7, baixo o 2. 72 por 9, dá 8 novamente. E aí, quando você divide 792 por 9, dá 88, sobre 990 por 9, que dá para perceber claramente que vai dar 110, né? Pelo que eu estou percebendo, tanto em cima quanto embaixo dá para dividir por 11, e 88 dividido por 11 dá 8, 110 dividido por 11 dá 10. E 8 décimos, mesma coisa que 4/5. Inacreditável, não é? Tudo isso simplificou para 4/5. Então, a inclinação da nossa reta, ''m² = 4/5'', ou, extraindo a raiz quadrada dos dois lados, o ''m'' vai ser igual a 2/√5. E essa aqui é a inclinação da nossa reta tangente. E agora, o que a gente tem que fazer é voltar numa equação lá para o ''b'' né, a mais simples possível. Vamos ver aqui. Acho que essa aqui é a mais simples. A gente tem que nosso ''m'' é igual a 2/√5, e o ''b" vai ser igual a raiz quadrada de 9 vezes m², que vai ser 4/5, o valor de m², menos 4. E tudo isso aqui vai ser igual a raiz quadrada de 9 vezes 4, 36, sobre 5, menos 4, que é a mesma coisa que 20/5, é ou não é? Vou botar no mesmo denominador. Então, o ''b'', a gente está ficando sem espaço aqui, mas o ''b'' vai ser igual a 16, que vai está aqui em cima, né, então, a √16 é 4, sobre a √5, certo? E nós, inacreditavelmente acabamos, sabemos a inclinação da reta tangente e o ponto onde ela corta o eixo do ''y''. Portanto, já posso escrever essa equação como sendo ''y'' igual a 2 sobre √5, tudo isso multiplicado por ''x'' + o valor do ''b'', que é 4/√5. Simplificando, multiplicando ambos os lados por √5, a gente vai ter ''√5y = 2x + 4''. Nós podemos agora subtrair 2x de ambos os lados, então -2x + √5y, também subtraindo 4 né, -4, igual a zero. Vamos ver agora se é uma das opções lá em cima. Vamos lá, cadê, aqui. Bom, parece que se eu multiplicar aquela equação toda por -1 eu vou obter essa, vamos ver. Vamos voltar lá. Aqui. Multiplicando por -1, eu vou ter ''2x - √5y + 4 = 0'''. E nós terminamos! Terminamos aqui o problema mais doloroso que eu já fiz em toda a minha vida. A resposta aqui vai ser a letra ''b'', ''2x - √5y+ = 0'', Está aqui, letra ''b''. Ufa! Até o próximo vídeo.