Intersecção de circunferência e hipérbole

RKA8JV A circunferência x² + y² - 8x = 0 e a hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 se inteceptam nos pontos A e B. A equação da circunferência que tem AB como diâmetro, é o que? Vamos lá, primeiro eu vou escrever a equação a circunferência. Vai ser x² + y² - 8x = 0. Só que na verdade, eu vou reescrever isso daqui, porque que eu posso reorganizar da seguinte maneira: x² - 8x, deixa um espaço, mais ''y'', deixa outro espaço, igual a zero. Eu deixei esse espaço pois eu vou somar 16 em ambos os lados, que assim eu vou completar o quadrado aqui do ''x'', então mais 16 aqui, mais 16 aqui. Opa, esqueci do quadrado aqui no ''y'', aqui é mais y², certo? Então, esse termo aqui, vai virar (x - 4)², sim ou não? Certo? Tudo isso, mais y², igual a 16. Então, já posso desenhar o eixo do ''y'', para ver mais ou menos como é que a minha circunferência vai ficar, e o eixo do ''x'', beleza? Aqui é o ''x'', aqui é o ''y''. O centro da circunferência vai ser no ponto (4, 0), então 1, 2, 3, 4, está por aqui assim. O raio vai ser igual a 4, já que 4² é 16, né? Então, deixa eu fazer aqui, 1, 2, 3, 4. Aqui embaixo, 1, 2, 3, 4. E para cá também, 1, 2, 3, 4. Daí eu sei o que? Que esse ponto, esse ponto bem aqui, esse ponto aqui, e esse ponto aqui, vão estar sobre o círculo, e, portanto, essa circunferência vai parecer mais ou menos com isso que eu estou desenhando. Vai ser mais ou menos isso aqui, beleza? E agora eu tenho a hipérbole, que é x²/9 menos y²/4 = 1. Como eu estou percebendo, o termo do x² é positivo. O que isso significa? Que a hipérbole vai estar aberta para ambos os lados, para a esquerda e para a direita. O que eu vou fazer agora vai ser isolar o ''y'' para calcular o valor do ''y'' aqui da hipérbole, tá? Então vai ficar: -y²/4 = -x²/9 + 1. Nesse caso aqui, apenas subtraí em ambos os lados da equação por x²/9. Agora, vou multiplicar em ambos os lados por -4, para poder me livrar desse 4 aqui no denominador, e também do sinal de negativo. Daí eu voltei então, aqui do lado esquerdo, y², isso vai ser igual a 4/9 vezes x² - 4. Daí, extraindo a raiz quadrada dos dois lados, eu estou fazendo isso aqui só para você ter uma ideia de como vai ficar as assíntotas da hipérbole, né. Nesse caso aqui, ela só vai mudar a parte da direita, da abertura da direita, mas é só para você saber as assíntotas. Então, isso vai ser: raiz quadrada de 4/9x² - 4, e, neste caso, como dá para perceber, quando ''x'' vai pro infinito, se o ''x'' tender para o infinito, o que acontece? Esse termo aqui, do -4, não vai importar muita coisa né, então se o ''x'' tende ao infinito, eu vou ficar apenas com a raiz quadrada de 4/9 vezes o x², o que é a mesma coisa que 2/3 de ''x'', certo? E se você pensar então na inclinação da assíntota, 2/3, eu posso andar três casas para a direita, 1, 2, 3, e duas para cima, 1, 2. É só ligar agora esses dois pontos, a minha assíntota vai parecer assim, certo? Eu sei que as assíntotas vão ser simétricas, então ela vai também passar por esse ponto, vai ficar assim, certo? E agora, se eu quiser saber onde a hipérbole vai cortar o eixo do ''x'', basta fazer o "y" igual a zero. E aí eu vou ter que x²/9, menos zero, não mudar nada, vai ser igual a 1, logo, o ''x'' vai ser, quando eu jogar esse 9 lá para o outro lado, multiplicar os dois lados por 9, x² vai ser igual a ±√9, que vai ser ±3. Então, a minha intersecção positiva vai ser nesse ponto aqui. E aí, a hipérbole vai se parecer com algo assim, né? Vai ser mais ou menos isso que eu estou desenhando, assim, nunca vai encostar na assíntota. E aqui para o outro lado, vai acontecer a mesma coisa, vai estar aqui no -3 e vai fazer a mesma coisa. Só que esse lado esquerdo aqui é menos interessante, eu vou focar apenas aqui do lado direito, porque aqui desse lado que tem a circunferência, certo? O que ele não está nos dizendo no problema é que a circunferência e a hipérbole se interceptam nos pontos A e B, portanto, aqui os pontos, esse vai ser o ponto ''A'', e aqui vai ser o ponto ''B''. E aí, ele nos diz que ele quer uma equação para circunferência que tem AB como diâmetro, então, esse segmento AB, vai ser o diâmetro da nova circunferência que a gente tem que saber aqui na equação. Então, o nosso problema se resume a saber onde essa hipérbole irá interceptar com essa circunferência. A maneira mais fácil fazer isso, é, no caso, a gente resolver essa equação da circunferência para o y², depois posso substituir na equação da hipérbole, que eu vou encontrar o valor do ''x'' onde há a intersecção. E aí, como dá para perceber, quando a gente calcular o valor do ''x'', a gente vai depois descobrir o valor do ''y'', que vai ser o diâmetro da circunferência nova que a gente vai fazer, e esse ponto aqui vai ser bem o centro dessa nossa nova circunferência, é ou não é? E aí sim, eu vou poder descobrir a equação que eu estou procurando. Pois bem, eu vou pegar essa equação aqui da circunferência e vou isolar o y². Para isso, eu vou somar 8x dos dois lados e subtrair x² dos dois lados, e então eu vou ter: y² igual a 8x, já que eu somei dos dois lados por 8x, e vou subtrair dos dois lados por x², então 8x - x². Agora, eu posso pegar esse valor aqui, do y², e substituir lá na equação da hipérbole. E aí, a equação da hipérbole, deixa só abaixar um pouquinho aqui, a equação da hipérbole é x²/9 menos o valor do y², que a gente substituir, sobre 4, igual a 1. Ora, no lugar do y² daqui, eu vou colocar o valor que eu encontrei para cá, então vai ser 8x - x². Agora, vamos ver se a gente consegue resolver essa equação quadrática, que está bem direta, né? Vamos lá, essa equação aqui, eu posso reescrever da seguinte forma: x²/9 menos 8x/4, que vai dar -2x, mais, já que esse menos com esse menos fica mais, mais x²/4, certo? Igual a 1. Agora, o que eu vou fazer é multiplicar em ambos os lados por 36, que é o mínimo múltiplo comum entre 9 e 4, para poder me livrar das frações. Então aqui, quando eu multiplicar por 36, vai dar quanto? 36 por 9, dá 4, 4x², menos 36 vezes o 2x, que vai dar 72x, mais 36/4, que dá 9, então 9x², igual a 36 vezes 1, que é 36. E agora, eu posso adicionar estes dois termos, sim ou não? Eu vou ter então, 13x² - 72x, e aí, subtraindo 36 dos dois lados, menos 36, igual a zero. Agora eu tenho uma equação quadrática bem direta, posso usar fórmula da equação quadrática, a fórmula de Bhaskara, e resolver. Fazendo isso, o ''x'' vai ser igual a ''-b'', menos -72, que vai dar 72 positivo, ± a raiz quadrada de 72², que é o b², eu só vou colocar aqui 72 vezes 72, eu posso ignorar o menos, porque menos elevado ao quadrado dá positivo, continuando a fórmula, -4, que multiplica o ''a'', que é 13, que multiplica o ''c'', que é -36, então menos com menos vai dar mais, posso colocar mais, e o 36 alí no final multiplicando. Certo? E tudo isso dividido por 2 vezes ''a'', 2 vezes 13, 26. Ora, agora nos resta apenas simplificar isso aqui, e a parte mais complicada vai ser a raiz quadrada, vou fazer aqui do lado. Eu vou fazer a raiz quadrada de 72 vezes 72, eu posso reescrever isso como sendo: 2 vezes 36, vezes 2 vezes 36, tá? Isso é 72 e isso aqui também. E aí somar 4 vezes 36 vezes 13, certo? E agora, pelo que eu estou percebendo, eu posso fatorar e colocar em evidência, o 4 aqui, 2 vezes 2 é 4, aqui eu tenho 4 também, então isso vai ser igual a raiz quadrada de 4 vezes 36, eu posso fatorar o 36 também, tem aqui e tem aqui, então, 4 vezes 36, que multiplica por esse 36 aqui, que sobrou, mais o 13, certo? Foi o que sobrou também desse lado aqui. Então, eu vou ter a raiz quadrada de 4 vezes 36, vai dar 144, vezes 36 + 13, que dá 49. Agora, repare que são dois quadrados perfeitos, então eu posso simplificar mais ainda, muita sorte para a gente né? √144 é 12, √49 é 7, 12 vezes 7, é 84. Daí, essa coisa toda aqui vai simplificar para x = 72 ± 84 / 26. Beleza? E aí, você percebe o seguinte, se eu subtrair 84 vai dar um número negativo, então vai dar algo por aqui, que nos interessa, então, vou apenas somar o 72 com o 84. Aqui eu posso simplificar tudo por 2, então eu vou ter 36 + 42 / 13. 36 + 42 é 78, sobre 13. E agora, eu estou percebendo que o 78 é divisível por 13, já que 13 vezes 6 é 78, então aqui vai dar 6. E portanto, a nossa coordenada do ''x'' aqui é 6, eu posso colocar 6, vírgula, o do "y", que não sei ainda quanto é, mas a gente pode calcular substituindo em qualquer uma dessas equações. Essa aqui me parece ser a mais fácil. Aqui a gente vai ter então, que y² é igual a 8 vezes 6, que é 48, menos 6², que é 36. 48 menos 36 é igual a 12, então o ''y'' vai ser igual a √12. Na verdade, esse ponto aqui do centro da circunferência nova vai ser (6, 0), zero para o ''y''. Essa √12 vai ser a coordenada nesse ponto aqui, então, é (6, √12). Como você sabe, aqui pode ser ± √12, e nesse ponto ''b'' vai ser então (6, -√12). E aí, qual vai ser a equação dessa nova circunferência aqui? Qual será essa equação? Ora, como o centro está no (6, 0), então eu posso escrever, vou colocar aqui embaixo, (x - 6)² + (y - 0)², igual ao raio ao quadrado. Qual é o raio? O raio é isso aqui, né? E quanto vale isso? √12. E portanto, como vou ter aqui o raio ao quadrado, o quadrado da √12 vai ser igual ao próprio 12. Essa aqui vai ser equação do círculo, deixa eu só eu só ver na nas opções como é que ele coloca. Na verdade, ele multiplicou tudo. Então vamos fazer isso, vamos lá. Isso aqui vai ser x² - 12 x + 36, e isso aqui vai dar y², tudo isso igual a 12. Agora eu posso subtrair 12 em ambos os lados, e a gente vai ter o que? A gente vai ter x² - 12x + 24 + y² = 0. Agora, só nos resta a ver qual das opções que bate certinho com essa aqui. Vou copiar, ''Ctrl + C''. Vou lá em cima, e aqui eu vou dar uma colada, ''Ctrl + V'', certo? Vamos ver qual opção bate melhor com isso daqui. Aqui a gente tem x² + y², e aqui, -12x. O -12x aparece por aqui, e mais 24, que aparece aqui, então parece que a nossa resposta é a letra "A". Será que eu fiz certo? x², x² y², y². Menos 12x, menos 12x, mais 24, mais 24. Então está correto, a resposta é a letra "A". Até o próximo vídeo!