Interpretação de mudanças em modelos exponenciais: mudança de unidades

RKA3JV - A quantidade de dióxido de carbono na atmosfera aumenta rapidamente à medida que continuamos a depender de combustíveis fósseis. A relação entre o tempo decorrido, "t" (dado em décadas), é importante que você anote esta unidade de medida, está em décadas. Desde a primeira vez que os níveis de CO₂ foram medidos, e a quantidade total de CO₂ na atmosfera dada por essa função "Adécada (t)", em partes por milhão, é modelado pela função abaixo. Adécada (t) = 315 vezes 1,06 elevado a "t". Complete a seguinte frase sobre a taxa anual. Então, vemos aqui qual é o problema que nós vamos resolver. Ele deu o modelo em décadas, mas está perguntando a taxa anual da mudança da quantidade de CO₂ na atmosfera. Todos os anos, a quantidade de CO₂ na atmosfera aumenta por um fator de, ele quer saber o fator anual, se ele tivesse perguntado o fator de década era fácil, estava lá, 1,06. Então, nós temos um modelo de "Adécada", o tempo, e "Adécada (t)". Quando o tempo for zero, é o nosso momento inicial, então você vai ter um modelo "Adécada (0)" é igual a 315 vezes 1,06 elevado a zero, que é 1. Então, vamos ter 315 que é de onde partimos, ou seja, quando primeiro mediram a quantidade de partes por milhão da quantidade de CO₂. Agora, o que acontece depois que passa uma década? Uma década são 10 anos. O que se passa quando chegamos a 10 anos? Em 10 anos, nós temos o "Adécada (1)", porque este modelo é de década, é 315 vezes (1,06)¹. Aí, você podia perguntar. Espera aí, mas eu não estou com 10 anos, meu tempo não é 10? Eu não poderia pegar este 10 e colocar no expoente? Porque afinal de contas o tempo é 10. Não, o que é isso, você está no modelo de década, você está com o modelo de uma década, jamais você pode fazer isso. Então, esqueça essa ideia. Veja o número de décadas e esse vai ser o seu expoente. Portanto, fica 315 vezes (1,06)¹, que é uma década. Passada mais uma década, ou seja, para 20 anos, estamos na segunda década, vamos ter 315 vezes (1,06)², porque estamos na segunda década. Então, nós vemos que o modelo foi dado em década, mas ele perguntou o fator anual. Bem, vamos montar uma tabela que resolva este problema para a gente. Vamos verificar o que está acontecendo anualmente. Você tem o tempo e agora um modelo anual. Vamos colocar apenas A(t). No tempo zero, vai ser a mesma coisa, é o início da medição 315 partes por milhão, não tem problema. Agora, quando passa 1 ano, o expoente na realidade vai ser 0,1 de década. Então, em vez de colocar 1 no expoente, a gente coloca 0,1 de década, 0,1 no expoente. E este é "x" da questão, ou seja, você vai ter o modelo A(t) = 315 vezes 1,06. Agora, em vez de ser elevado a "t", a gente vai elevar a 0,1 vezes "t". Agora, sim, você pode colocar t = 10, porque 10 vezes 0,1 vai ser 1. Ou o modelo poderia ser escrito como A(t) = 315 vezes 1,06 elevado a t/10. E t/10 também, você pode colocar t = 10. 10/10 = 1, vai estar igual ao modelo de "Adécada". Então, nós temos a multiplicação, o nosso fator multiplicativo é 1,06 elevado a 0,1. Foi por este esse fator que a gente multiplicou para saber o que a gente tem depois de 1 ano. Bem, para saber este fator, vamos pegar 1,06 e elevar a 0,1. Com isso, a gente precisa do auxílio de uma calculadora para saber qual é o fator anual. A raiz décima de 1,06. Portanto, nós temos 1,06 elevado a 0,1, 1,06 elevado a 0,1, que vai dar 1,0058. Se a gente colocar mais casas decimais, vemos que este número é bem maior, mas ele pediu apenas com duas casas decimais na parte de percentual. Nós vamos ver que 1,0058, na realidade, é 0,58%. Então, o nosso fator é de 1,0058, então, temos que 1,06 elevado a 0,1, que é o nosso fator é, na realidade, 1,0058. Podemos colocar este 0,1 para dentro do parêntesis e temos o nosso modelo anual, o nosso modelo anual fica sendo 315 vezes o fator que é 1,0058 anualmente, elevado ao tempo "t" anual. Então, chegamos a um modelo anual. A pergunta não foi essa, mas a gente já chegou no modelo anual, que é uma grande conquista. O fator anual é de 1,0058. É importante a gente notar que 1,0058 é um pequeno fator, mas ele é maior que 1. Significa que a função exponencial é crescente, ou seja, os níveis de CO₂ estão aumentando, e estão aumentando de forma exponencial. Ele parte de 315 partes por milhão e aumenta de forma exponencial, porque o número é maior que 1. E, percentualmente falando, nós temos que 1,0058 na realidade, você somou 0,58% ao ano. Portanto, o nosso fator anual é de 1,0058.