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Como construir modelos exponenciais (exemplo antigo)

Neste vídeo, construímos uma função para modelar o decaimento de um elemento radioativo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - O césio-137 é um elemento radioativo usado para estudar as encostas, as erosões no solo e a sedimentação do solo. Ele tem uma meia-vida de aproximadamente 30 dias. O que significa isso? Significa que se você começasse com 2 quilogramas de césio-137, então, após 30 dias, você teria apenas 1 quilograma, o restante teria decaído. Assuma que a quantidade... outra coisa. E se passassem mais 30 dias você ficaria com meio quilograma. Assuma que a quantidade A em becquerels de césio-137 em uma amostra de solo é dada por uma função exponencial A = "c " vezes "r" elevado a "t", onde "t" é o número de dias desde a liberação do césio-137 no solo e "c" e "r" são constantes desconhecidas. Aqui cabe uma explicação do que é becquerels. Por vezes, nós medimos as coisas em algumas unidades, por exemplo aqui eu utilizei 2kg, então cada coisa nós medimos com a sua quantidade. Nós poderíamos medir a quantidade de césio em quilogramas, porém, por algum motivo, a quantidade desse elemento é medida por sua radioatividade, e, nesse caso, becquerels é a unidade no sistema internacional de medidas para a radioatividade. Esse nome foi dado porque a descoberta da radioatividade foi feita por Henri Becquerels juntamente com Marie Curie. Logo, você pode considerar que a quantidade de césio-137 é o que causa "A" becquerels de radioatividade. De qualquer forma, nós podemos pensar nisso em quantidades e, na verdade, isso é uma quantidade porque é o que causa "A" bequerels de radioatividade. Só para deixar claro, essa quantidade "A" de césio-137 em uma amostra de solo é dada por uma função exponencial A = c · r elevado a t, onde "t" é o número de dias desde a liberação do césio-137 no solo. Então, deixa eu escrever isso aqui. Então, A = c · r elevado a t. E só para ficar claro, "t" é o número de dias, então "t" é o número de dias, dias desde a liberação do césio-137 no solo. E "c" e "r" são constantes desconhecidas, ficou mais claro agora? Além disso, assuma que conhecemos a quantidade inicial de césio-137 liberado no solo e que essa quantidade é de 8 becquerels. Encontre as constantes desconhecidas "c" e "r". Podemos pensar no seguinte: então essa quantidade inicial de 8 becquerels acontece quando? Acontece quando a gente não tem dia nenhum, ou seja, quando o tempo é zero. Então, eu posso escrever o seguinte: A(0) = c · r elevado a zero. Só que "r" elevado a 0 é igual a 1, então isso é igual a "c", e "c" eu sei o valor porque eu sei o A(0). O A(0) é 8, então "c" é igual a 8. E isso só foi possível porque ele me deu essa quantidade inicial aqui de 8 bequerels, que é o que a gente colocou aqui. Agora nós temos outra pergunta. Qual é o valor da constante "r"? Aproxime a para casa dos milésimos. Bom, então o que vai acontecer depois de 30 dias? Então depois de 30 dias a gente vai ter metade do que era o inicial, ou seja, metade de 8 becquerels, ou seja, 4 becquerels. Então, vamos fazer essas contas. Então, vamos colocar aqui A(30), deixa eu só fazer isso aqui com uma outra cor somente para ficar mais divertido. Bom, então nós podemos escrever o seguinte, posso escrever que A(30) é igual a "c", só que eu sei que "c" é 8, então 8 vezes "r". O "t" é o número de dias. O número de dias é 30, porque estou fazendo após 30 dias. Então, "r" elevado a 30 e isso vai ser igual a quê? Isso vai ser igual a 4, e por que 4? Porque após 30 dias eu tenho uma meia-vida, ou seja, isso vai cair pela metade. Se eu comecei com 8, agora terei 4, porque inicialmente eu tenho 8 becquerels e agora depois de 30 dias vou ter 4 bequerels. Então, eu tenho essa equação aqui para resolver e isso vai ficar o seguinte: 8 · r³⁰ = 4. Então, divido por 8 dos dois lados, "r" elevado a 30 é igual a 4 sobre 8. 4 sobre 8 vai ficar 1/2, é a mesma coisa que 1/2. Então, para tirar esse expoente 30 aqui eu posso fazer o seguinte, posso elevar isso aqui é 1 sobre 30. Então "r" elevado a 30, elevado a 1 sobre 30, vai ser igual a 1/2 e um meio vai estar elevado a 1 sobre 30, à potência um trinta avos. E isso aqui eu vou ter "r", então "r" vai ser igual a 1/2 elevado a 1/30. E resolvendo isso aqui eu vou ter um valor de r, só que esse valor não é muito simples da gente calcular de cabeça, né? Então, o que eu recomendo é que você pega uma calculadora para poder resolver isso. Lembre-se que no final você vai aproximar isso para a casa dos milésimos. Então, vamos lá. Vamos pegar a nossa calculadora para resolver o problema. Então, eu tenho aqui 0,5, isso está elevado a 1/30, então isso está elevado a 1/30 e agora vamos ver o resultado. Bom, nós temos 0,977159 e assim por diante. Enfim, nós queremos apenas a casa dos milésimos, ou seja as três primeiras casas. Então, nós vamos ficar com 0,977. Então, deixa eu fechar isso aqui, e aí então nós ficamos com 0,977, aproximado para casa dos milésimos. E agora, para finalizar, uma terceira pergunta. Quantos becquerels de césio-137 sobram em uma amostra 150 dias, então são 150 dias, após ela ser liberada no solo? E ele quer que a gente usa a aproximação do valor de "r" e aproxime esse número para casa dos centésimos. Então, só pra ficar claro, nós conhecemos essa função A em relação ao tempo. Essa função A em tempo está em dias e isso é igual a 8 · (0,977), e isto está elevado a "t", que é o tempo em dias. Como "t" é o número de dias, o que nós temos que fazer é calcular o A de 150. Então, isso aqui, o resultado disso está em becquerels, então A(150) = 8 · (0,977) e isso está elevado a 150. E, só para deixar claro, para resolver isso aqui nós vamos usar novamente a nossa calculadora. Então, vamos utilizar aqui a calculadora e nós vamos fazer essa conta utilizando um valor aproximado que é esse aqui. Então nós temos 8 · 0,977 e isso está elevado a 150, elevado a 150 que vai retornar para a gente o valor 0,24 e mais uns quebrados. O importante para nós são as duas primeiras casas porque nós temos que aproximar para casa dos centésimos, então resultado 0,24. Então, o resultado disso é 0,24 becquerels, 0,24 becquerels. E isso aqui é o que sobra do césio-137 após 150 dias. Uma coisa interessante desse problema é que ele pediu para a gente utilizar a aproximação do valor de "r", porém 150 é múltiplo de 30, então será que não teríamos um valor mais exato do que 0,24 para essa conta? Então, eu encorajo você a pausar esse vídeo e pensar nisso um pouquinho. Eu encorajo você a encontrar o valor exato dessa conta. Bom, admitindo que você tentou isso, vamos lá. Então, no lugar dessa função aqui eu poderia escrever o seguinte: A(t) = 8 · r, mas "r" é isso aqui, então vou colocar isso aqui no lugar de "r", então vamos lá. 1/2 elevado a 1/30 e isso tudo está elevado a "t". Então, isso tudo aqui está elevado a "t". Por outro lado, eu posso escrever a minha função assim: A(t) = 8 vezes, deixa eu só escrever isso aqui com uma outra cor, vezes 1/2 elevado a "t" sobre 30. Então "t" sobre 30, deixa eu só colocar o "t" aqui em cima, "t" sobre 30. Deixa eu só tirar esse parênteses aqui também, porque eu não preciso dele. Então, a minha função vai ficar assim: 8 · 1/2 elevado a "t" sobre 30. Aqui, eu só fiz a multiplicação das potências: "t" · 1 deu "t", t sobre 30. Bom, então agora eu só quero calcular a quantidade de césio-137 que sobra depois de 150 dias, o que eu vou fazer? Vou colocar o 150 aqui, vou calcular o A de 150 assim como eu fiz aqui. Porém, aqui, eu não estou fazendo com aproximações, eu estou fazendo com o número exato. Portanto, nós ficamos com A(t) = 8 · 1/2 elevado a "t" sobre 30. Então, agora, vamos calcular o A(150), portanto meu A(150) vai ser igual a 8 · 1/2, então vamos colocar aqui 1/2 e isso está elevado a 150/30, quando eu colocar "t" aqui igual a 150, 150/30 vai dar 5. Só que 1/2 elevado a 5, isso aqui é a mesma coisa que 1/32, 1 32 avos. E o resultado disso aqui será: 8/32, então 8/32, que é igual a 1/4, 1 sobre 4, ou mesma coisa que 0,25. Nós acabamos encontrando 0,24 quando nós usamos a aproximação do valor de "r", quando nós utilizamos 0,977, Isso, quando ele é multiplicado por si mesmo 150 vezes, acaba dando esse valor. Porém, se nós utilizarmos o valor real, o valor exato, o resultado do nosso seria 0,25 que é realmente o valor após 150 dias. Bom, espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo.