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Problema de modelagem com funções exponenciais básicas

Resolução e interpretação de um problema em que modelamos o aumento de uma multa por velocidade ao longo do tempo como uma função exponencial. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar piceratops seedling style do usuário Maria Guedes
    Se por acaso eu só tivesse os dados do mês 1 ( R$ 300) e do mês 4 (1.012,50) ainda se tratando de um função exponencial, como conseguiria saber a taxa básica para os valores consecutivos de F?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar piceratops ultimate style do usuário Paulo Roberto Gonçalves
      É simples, pela fórmula básica de progressão geométrica:
      valor inicial x taxa de crescimento^(n-1) = valor n
      neste caso:
      300 * F ^3 = 1012,50
      F^3 = 1012,50/300
      F = raiz cúbica (1012,50/300)
      F = 1,5
      Pronto, a taxa de crescimento dessa progressão é 1,5, agora podemos testar para ver se está correto:
      mês 1 = 300
      mês 2 = 300 * 1,5 = 450
      mês 3 = 450 * 1,5 = 675
      mês 4 = 675 * 1,5 = 1012,50

      Espero ter ajudado. (:
      (5 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA13MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos aprender a modelar exercícios utilizando a função exponencial. E, para isso, temos o seguinte aqui: Sara recebeu uma multa por excesso de velocidade a caminho de casa. Se ela pagar a multa agora, não haverá penalidade adicional. Agora, se ela atrasar o pagamento, será aplicada uma multa pelo número de meses "t" que ela atrasar. Sua multa, no total, que é F, em reais, está indicada na tabela abaixo. Ou seja, esses valores representam uma função exponencial. Aqui temos o número de meses que o pagamento está atrasado e, aqui, o valor da multa. E esse parece um crescimento exponencial. Vamos relembrar, aqui, o que é uma função exponencial. Então, neste caso, nós temos a função F, que é a multa em função do tempo, que é mesma coisa que um valor "a", que chamamos de valor inicial, vezes alguma coisa elevada a uma potência "t". Esta aqui é uma função exponencial. E eu já vou explicá-la melhor. A primeira pergunta é: qual é a razão comum de valores consecutivos de F? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Vamos lá, então. Este "r" aqui é chamado de razão comum. É a razão na qual, quando você incrementa um termo qualquer, a divisão entre o próximo termo e o termo anterior tem que ser uma constante. E isso, para qualquer "t". Ou seja, se eu pegar o F(2) e dividir pelo F(1), isso tem que ser igual ao F(3) dividido pelo F(2), que tem que ser igual à divisão do F(4) pelo F(3). E, de uma forma geral, F(t + 1) sobre F(t) tem que ser igual a todas essas razões. Essa é a razão comum. E é isso que queremos descobrir na primeira alternativa. Conseguimos descobrir o "r", neste caso, olhando somente para esses valores. Qual é a razão entre F(2) e F(1)? É 450 dividido por 300, que é igual a 1,5. E 675 dividido por 450 também vai ser 1,5. E 1.012,50 dividido por 675 também é 1,5. Então todas essas razões vão dar o mesmo valor, que é 1,5. Essa é a razão comum. Ou seja, isto aqui é igual a 1,5, que é a resposta da primeira alternativa. É por isso que esse "r" é chamado de razão comum. Claro que você pode escrever a função exponencial de várias maneiras, mas essa aqui deixa bem clara essa ideia de razão comum. Só para você ter certeza disso, você pode substituir cada um desses valores na função, e aí vamos ter aqui em cima: "a", que multiplica "r" elevado a "t + 1", dividido por "a" vezes "r" elevado a "t". Podemos cancelar este "a" com este aqui. E aí vamos ficar com "r" elevado "t + 1" dividido por "r" elevado a "t", onde vamos ficar com "r" elevado a "t + 1 - t". E aí eu posso cancelar este "t" com este -t aqui, ficando somente com "r". Ou seja, o "r", de fato, é a razão comum. E, neste caso específico, é igual a 1,5. Conhecendo o "r", nós sabemos que a nossa função tem a forma de F(t) = "a" vezes 1,5 elevado a "t". E com isso, vamos para a segunda pergunta. Qual é a lei de definição para a função F? Temos praticamente tudo, né? Mas ainda precisamos descobrir qual é este valor "a" aqui. Para fazer isso, você pode, por exemplo, pegar o F(1), que conhecemos, substituir na função e resolver para encontrar o valor de "a". Na verdade, você pode utilizar qualquer um desses valores conhecidos, tá? Fazendo isso, temos que F(1) é igual a "a", que multiplica 1,5¹, que é mesma coisa que 1,5, e isso é igual a 300. Ou seja, vamos ter 1,5a igual a 300. Podemos dividir ambos os membros dessa igualdade por 1,5. E aí eu cancelo este 1,5 com este, ficando com "a" igual a 300 dividido por 1,5, que a mesma coisa que 200. Portanto, a lei de definição nesse caso vai ser F(t) igual a 200 vezes 1,5 elevado a "t". E, por fim, a última pergunta é: qual é o valor da multa em reais se ela pagar em dia? Se a Sara pagar em dia, significa que o "t" é igual a 0. Ou, melhor dizendo, precisamos descobrir F(0). Ou seja, vamos ter que F(0) é igual a 200 vezes 1,5 elevado a zero, e todo número elevado a zero é igual a 1. Então 1,5 elevado a zero vai ser 1. Com isso, vamos ficar somente com 200. Ou seja, se Sara pagar a multa sem atraso, ela vai pagar R$200. Uma outra maneira de pensar nisso é que de 675 até 450, nós dividimos por 1,5. Para ir de 450 até 300, também dividimos por 1,5, correto? Então, para ir do tempo 1 até o tempo zero, nós precisamos pegar esse 300 e dividir por 1,5, que vai ser igual a 200. Enfim, eu espero que essa aula tenha te ajudado. Até a próxima, pessoal.