Gráficos de funções exponenciais (exemplo antigo)

RKA8JV Nós temos aqui 4 funções e 4 definições. O que eu quero fazer nesse vídeo é descobrir qual gráfico pertence a cada uma dessas equações. Eu encorajo você a pausar esse vídeo e tentar fazer isso sozinho. Pense nisso, qual gráfico pertence a cada uma dessas funções? Bom, assumindo que você tentou fazer isso, então, agora vamos relacionar cada uma dessas funções ao seu gráfico. Uma primeira maneira de pensar é: o que aconteceria se ''x'' fosse zero? Ou seja, se o expoente fosse zero? Então, deixa eu escrever um resultado para isso aqui, "y" de zero seria igual a 2 menos 1/3 elevado a zero. Então isso aqui seria igual a 2, 1/3 elevado a zero dá 1, e 2 menos 1 dá 1. Vamos olhar para cada gráfico. Aqui ''y'' é zero, e aqui ''y'' é -1. Aqui ''y'' é zero, e aqui ''y'' é -1. Aqui, ''y'' é zero e aqui '''y'' parece ser 1, então, esse aqui é um candidato. E aqui também ''y'' é igual a zero e ''y'' é igual a 1, então esse aqui é o meu segundo candidato. Agora vamos estudar o comportamento dessa função. Então, vamos imaginar que ''x'' fosse um número muito grande. Nós queremos que esse número seja muito, muito, muito grande, portanto, vamos pegar, por exemplo, ''x" igual a 1.000. Vamos calcular aqui o "y" de 1.000. Eu sei que 1.000 não é um número tão grande assim, mas vai servir para o que a gente quer. Então, 2 menos 1/3, isso aqui está elevado a 1.000. 2 menos 1/3 está elevado a 1.000. Agora, vamos pensar no seguinte: 1/3 elevado a 1.000 será um 1/3 vezes 1/3, vezes 1/3, vezes 1/3, isso vai se repetir 1.000 vezes. 1.000 vezes nós teremos essa multiplicação de 1/3 por 1/3, e esse resultado vai ser um número muito, muito, muito pequeno, logo, isso aqui vai ser um número muito próximo de zero, então, deixe-me escrever isso. Então isso aqui vai ser um número muito próximo de zero. Isso é um número que a gente diz que tende a zero. Uma outra maneira de você pensar nisso, é que se você aumenta o valor de ''x'', esse número diminui tendendo a zero. Então, quando nós temos o "y" de 1.000, isso vai ser um número que tende a 2. Por quê? Porque ''x'' é um número muito, muito, muito grande, conforme o ''x'' vai aumentando e aumentando, esse número aqui está tendendo a zero, então, a função 2 menos esse número aqui, que está tendendo a zero, está tendendo, na verdade, a 2. Logo, quando esses gráficos aqui correspondem a essa função? Bom, está claro que é esse gráfico aqui, né? Porque conforme o ''x'' vai ficando maior e maior, o ''y'' vai se aproximando de 2, então só pode ser esse. Então deixa eu escrever isso. y = 2 - (1/3)ˣ. Então esse é o gráfico. Por outro lado, também, nós poderíamos pensar no que acontece quando o ''x'' se torna menor e menor. Bom, quando o ''x'' vai ficando cada vez menor, o está acontecendo? O ''x'' está se tornando mais negativo. E se ''x'' é negativo, essa função aqui vai tender a um número infinito negativo. Por quê? Pelo seguinte: se ''x'' tende a um número negativo, então, 1/3 elevado a um número negativo é como se fosse 3 elevado a um número positivo. E 3 elevado a um número positivo muito grande vai ser um número muito grande. E um número muito grande subtraído de 2, isso vai dar um número negativo muito grande. Então, esse número aqui está se aproximando de menos infinito, ou de infinito negativo. E aí, a gente pode confirmar isso aqui, então é mais uma evidência de que esse gráfico realmente é dessa função. Agora, vamos pensar nessa função aqui. y = (1/2)ˣ - 2. A primeira coisa que nós podemos fazer, igual fizemos aqui, é fazer ''x" igual a zero. Então, se fizermos ''x" igual a zero, nós teremos o "y" de zero. Vamos calcular isso. Isso seria 1/2 elevado a zero, menos 2. Só que 1/2 elevado a zero dá 1, e 1 menos 2 dá -1. Portanto, essas duas funções são candidatas. Vamos fazer a mesma coisa que fizemos com a outra função, vamos pensar no comportamento dela. O que acontece quando ''x'' fica muito, muito, muito grande? Esse pedaço é uma fração, conforme aqui, então, quando ''x'' se torna muito, muito grande, a gente vai ter 1/2 vezes 1/2, vezes 1/2, vezes 1/2, que se aproxima muito rapidamente de zero. Então, isso vai tender a zero, e zero menos 2 vai dar -2. Então, conforme ''x'' vai ficando muito, muito grande, ''y'' vai se aproximando de -2. E nós temos essas duas aqui como candidatas, mas está claro para nós que essa aqui é a função que nós estamos procurando. Essa aqui, é a função que estamos procurando, é a função y = (1/2)ˣ - 2. E a gente pode confirmar isso também fazendo da mesma forma que a gente fez aqui. Se a gente pega isso e eleva a um número muito, muito, muito negativo, O que vai acontecer? Seria como se fosse 2 elevado a um número muito, muito, muito positivo, e daria um número muito grande, e um número muito grande menos 2 tende a um número muito grande. Conforme ''x'' vai diminuindo, o valor da função vai aumentando, então, esse aqui realmente é o gráfico da nossa função. E agora nós ficamos com essas duas funções aqui. Vamos começar por essa. y = 2ˣ. Bom, 2 elevado a "x", quando ''x" é igual a zero, 2 elevado a zero dá 1, então, parece ser esse gráfico aqui. Bom, essa função, de todas elas, talvez seja a mais simples, porque realmente ela é uma curva clássica, não é? Conforme ''x'' vai aumentando, o valor de ''y'' também vai aumentando. E conforme ''x'' se tornando cada vez mais negativo, mais ela se aproxima de zero. Nós podemos imaginar essa situação, por exemplo, se ''x'' fosse um número muito grande e negativo. Imagine que nós tivéssemos x = -10. Então teríamos "y" de -10, isso seria 2 elevado a -10, só que 2 elevado a -10 é 1/2 elevado a 10, que sem dúvida alguma é um número muito, muito, muito pequeno, tendendo a zero, rapidamente esse número tende a zero. Então, de fato, esse aqui é o gráfico da nossa função, não temos mais dúvida nenhuma de que esse seja o gráfico da nossa função. E agora, se nós usarmos a lógica dedutiva, fica claro que essa função está representada por esse gráfico. Bom, mas vamos deixar um pouquinho a razão de lado e vamos pensar também nessa aqui. A primeira coisa que nos vem à cabeça é o seguinte: aqui nós temos y = -3˟. Será que esse -3 está sendo elevado a ''x''? ''x'' está elevando -3? Ou será que não, ou será que é apenas o 3? Bom, nós temos que lembrar que quando nós temos expoentes, vale primeiro a exponencial. Então, vale primeiros a exponencial e depois vem sinal de menos, então, é menos o valor que der dessa exponencial aqui. Isso aqui será a nossa prioridade, então, primeiro isso aqui e depois o sinal de menos. Agora o que nós podemos notar é o seguinte: essa aqui também é uma função clássica exponencial, 3˟. Aqui nós temos um menos na frente, mas a ordem manda que nós façamos essa operação aqui primeiro. Então, ela é parecida com essa, só que, na verdade, ela está invertida, ela está para o lado de baixo. Aqui, quando o ''x'' crescia, ''y'' dava um número muito grande, agora, aqui é o contrário, quando o ''x'' cresce deveria dar um número muito grande por 3˟, mas como tem esse menos, vai dar -3˟, ou seja, vai dar um número muito pequeno. Da mesma forma, como ''x'' é muito negativo, isso aqui também tende a zero, então, está tendendo a zero, só que menos zero. Então, vai tender à reta "y = 0'' pelo lado de baixo. Ela vai se aproximar da reta ''y = 0'' pela parte de baixo. A gente ainda pode pensar no seguinte: 3 elevado a zero dá 1, só que tem o menos na frente, então daria -1, que é o valor dessa função aqui. Então, eu posso escrever que esse gráfico aqui é da função ''y = -3˟''. Espero que vocês tenham gostado, e até um próximo vídeo!