Interpretação do tempo em modelos exponenciais

RKA - Depois que um medicamento especial é colocado em uma placa de Petri cheia de bactérias, o número de bactérias que permanecem no prato diminui rapidamente. A relação entre o tempo decorrido, t, em segundos, e o número de bactérias, N(t), na placa de Petri é modelada pela seguinte função: N(t) igual a 1.000 vezes 1/2 elevado a t sobre 5,5. Complete a seguinte frase sobre a meia-vida da cultura de bactérias. O número de bactérias é reduzido pela metade a cada tantos segundos. Então, vamos colocar nossa tabela para examinar o que está acontecendo com N(t) em função de tempo. Quando o tempo for 0, vamos ter N(t) igual a 1.000 vezes 1/2 elevado a 0 sobre 5,5, que é 0, e 1/2 elevado a 0 é 1. Temos 1.000. Ou seja, inicialmente nós temos 1.000 bactérias. Ele quer saber a quantos segundos ele é reduzido pela metade. Ou seja, eu quero saber quando chega em 500, metade de 1.000. Então, o nosso fator multiplicativo tem que ser 1/2. Ele vai ser 1/2 quando o tempo for 5,5, pois o nosso expoente vai ser 1. Então, no tempo de 5,5 segundos, nós temos 1.000 vezes 1/2 elevado a 5,5 sobre 5,5, que é 1. Portanto, nós temos 1.000 vezes 1/2. E, com isso, nós temos o período de meia vida da bactéria. Então, 1.000 vezes 1/2. Agora, em um segundo período de mais 5,5 segundos, vamos ter 11 segundos, teremos 1.000 vezes 1/2 elevado à 2ª, pois a cada 5,5 segundos nós estamos multiplicando nossa cultura bacteriana por 1/2. Então, vamos ter 1/2 elevado à 2ª. Esse é o primeiro período, 5,5 segundos. E aqui nós temos nosso segundo período. O primeiro período elevado a 1, e o segundo período elevado a 2. E o tempo de meia vida sendo de 5,5 segundos, para que caia pela metade. Então, nossa resposta é 5,5 segundos. Vamos para uma próxima questão. O elemento químico einstênio-253 naturalmente perde a sua massa ao longo do tempo. Uma amostra de einstênio-253 tinha uma massa inicial de 320 gramas quando foi medida. A relação entre o tempo decorrido, t, em dias, e a massa, M(t), em gramas, restante da amostra, é modelada pela seguinte função: M(t) é igual a 320 vezes 0,125 elevado a t sobre 61,4. Complete a seguinte frase sobre a taxa de mudança da massa da amostra. A amostra perde 87,5% de sua massa a cada quantos dias? O que significa perder 87,5% de sua massa? Significa que você tinha 100%, subtraiu 87,5% e ficou com 12,5%. Portanto, nós temos 1, que é 100%... Temos 0,875, que é 87,5%. Restando 0,125, que é 12,5%. E esse vai ser nosso fator multiplicativo, pois ao multiplicarmos por 0,125 teremos reduzido 87,5% da nossa massa. Vamos fazer a tabela de tempo e M(t), e ver mais claramente o que está acontecendo. Você já deve estar suspeitando a resposta. Nós temos o tempo 0, então o fator vai ser 1. 320 vezes 1, 320. Quando é que ele perde 87,5%? Quando é multiplicado pelo fator de 0,125, que é o 12,5% restantes. Quando é que ele tem um fator de 0,125? No nosso modelo, é quando o expoente for 1. Esse expoente vai ser 1, com 61,4 dias. E com 61,4 dias temos o t, que é 61,4 dias, sobre 61,4, que vai dar o expoente igual 1. Então, temos 320 vezes 0,125 elevado a 1. Com isso, nós temos uma perda de 87,5% quando multiplicamos por 125. Se quisermos saber o segundo período... Seria quando ele está com 122,8 dias. Então, 122,8 dias, ele vai ter perdido novamente 87,5%, pois vai ter sido multiplicado pelo fator de 0,125. Ao multiplicarmos, nós temos 0,125 elevado ao quadrado. Portanto, nossa resposta é 61,4 dias. Agora, vamos para a nossa última questão. Alberto começou a estudar a forma como o número de ramificações de sua árvore cresce ao longo do tempo. A relação entre o tempo decorrido, t, em anos, desde que Alberto começou a estudar a árvore, e o número de ramos N(t), é modelada pela seguinte função: N(t) é igual a 38 vezes 9/5 elevado a t sobre 7,3. Complete a seguinte frase sobre a taxa de mudança do número de galhos. A árvore de Alberto ganha 4/5 mais ramificações em quantos anos? Então, o que significa ganhar 4/5? Significa que você tinha 1 e foi somado a essa unidade 4/5. Isso é o que significa ganhar 4/5. Então, se você tem 1 e soma-se 4/5, você vai ficar com... 5 mais 4, 9/5. Ou seja, esse é nosso fator multiplicativo. 9/5 ou 1,8. Coincidiu com aquela base ali em cima. Então, temos o tempo, temos N(t). Quando o tempo for 0 vamos ter 38, pois o expoente vai ser 0, e vai dar 1, o fator. 38 vezes 1, ou 38, inicialmente. E vamos ganhar 4/5, ou seja, quando multiplicarmos por 9/5. Isso acontece quando o expoente for 1. Então, quando é que o expoente vai ser 1 para que nós tenhamos um fator multiplicativo de 9/5? O t sobre 7,3 vai ser igual a 1. Portanto, nós temos o t igual a 7,3 anos. Então, em 7,3 anos, vamos ter um fator multiplicativo de 9/5, e vamos ter aumentado 4/5 no número de galhos ou ramificações da árvore do Alberto. Então, temos 38 vezes 9/5 elevado à 1ª. Se passarmos mais um período de 7,3 anos, vamos ter 38 vezes 9/5 elevado à 2ª. Ou seja, a cada 7,3 anos nós ganhamos, ou pelo menos o Alberto ganha, 4/5 mais ramificações. Ganhar 4/5 mais ramificações significa multiplicar por 9/5. Portanto, a nossa resposta é: o número de anos que se ganha 4/5 é o mesmo que é multiplicado pelo fator de 9/5, que é igual a 7,3 anos. Portanto, 7,3 anos.