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Conteúdo principal

Introdução aos logaritmos

Aprenda o que são logaritmos e como calculá-los. 

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

Você deve estar familiarizado com expoentes e, preferencialmente, com expoentes negativos.

O que você vai aprender nessa lição

Você aprenderá o que são logaritmos e saberá como calcular alguns logaritmos básicos. Isso vai prepará-lo para seu trabalho futuro com expressões e funções logarítmicas.

O que é um logaritmo?

Logaritmos são uma outra forma de pensar em expoentes.
Por exemplo, sabemos que 2 elevado a 4a potência é igual a 16. Isso é expressado pela equação exponencial 24=16.
Agora, suponha que alguém nos tenha perguntado, "2 elevado a qual potência é igual a 16"? A resposta seria 4. Isso é expresso pela equação logarítmica log2(16)=4, lida como "log de dezesseis na base dois é igual a quatro".
24=16log2(16)=4
Ambas as equações descrevem a mesma relação entre os números 2, 4 e 16, em que 2 é a base e 4 é o expoente.
A diferença é que, enquanto a forma exponencial isola a potência, 16, a forma logarítmica isola o expoente, 4.
Temos aqui mais exemplos de equações logarítmicas e exponenciais equivalente.
Forma logarítmicaForma exponencial
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

Definição de logaritmo

Generalizar os exemplos acima leva à definição formal de um logaritmo.
logb(a)=cbc=a
As duas equações descrevem a mesma relação entre a, b e c:
  • b é a base,
  • c é o expoente, e
  • a é chamado de argumento.

Uma observação útil

Quando reescrevemos uma equação exponencial em forma de log, ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é importante lembrar que a base do logaritmo é igual à base do expoente.

Teste seu conhecimento

Nos problemas a seguir, você vai fazer a conversão entre as formas exponencial e logarítmica das equações.
Problema 1
Qual das alternativas a seguir é equivalente a 25=32?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
Qual das alternativas a seguir é equivalente a 53=125?
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Escreva log2(64)=6 na forma exponencial.

Problema 4
4) Escreva log4(16)=2 na forma exponencial.

Cálculo de logaritmos

Ótimo! Agora que compreendemos a relação entre expoentes e logaritmos, vamos ver se conseguimos calcular os logaritmos.
Por exemplo, vamos calcular log4(64).
Vamos começar igualando essa expressão a x.
log4(64)=x
Escrevendo isso como uma equação exponencial, temos o seguinte:
4x=64
4 elevado a qual potência é 64? Bem, 43=64, então log4(64)=3.
Conforme você vai adquirindo mais prática, você pode se ver resumindo algumas dessas etapas e calculando log4(64) apenas se perguntando: "4 elevado a qual potência é igual 64?"

Teste seu conhecimento

Lembre-se, quando você calcula logb(a), você pode se perguntar: "b elevado a que potência é a?"
Problema 5
log6(36)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 6
log3(27)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 7
log4(4)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 8
log5(1)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Desafio
log3(19)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Restrições em variáveis

logb(a) é definido quando a base b é positiva—e diferente de 1—e o argumento a é positivo. Essas restrições são um resultado da conexão entre logaritmos e expoentes.
RestriçãoRaciocínio
b>0Em uma função exponencial, a base b é sempre definida como positiva.
a>0logb(a)=c significa que bc=a. Como um número positivo elevado a qualquer potência é positivo, ou seja bc>0, então a>0.
b1Suponha por um momento que b pudesse ser 1. Agora, considere a equação log1(3)=x. A forma exponencial equivalente seria 1x=3. Mas isso não pode ser verdadeiro nunca, pois 1 elevado a qualquer potência é sempre 1. Portanto, b1.

Logaritmos especiais

Embora a base de um logaritmo possa ter vários valores diferentes, há duas bases que são usadas com mais frequência do que outras.
De maneira específica, a maioria das calculadoras só tem botões para esses dois tipos de logaritmos. Vamos ver quais são.

O logaritmo comum

O logaritmo comum é um logaritmo cuja base é 10 ("logaritmo de base 10").
Ao escrever esses logaritmos matematicamente, nós omitimos a base. Entende-se que ela é igual a 10.
log10(x)=log(x)

O logaritmo natural

O logaritmo natural é um algoritmo cuja base é o número e ("logaritmo de base e").
Em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo com ln.
loge(x)=ln(x)
Esta tabela resume o que precisamos saber sobre esses dois logaritmos especiais:
NomeBaseNotação regularNotação especial
Logaritmo comum10log10(x)log(x)
Logaritmo naturaleloge(x)ln(x)
Embora a notação seja diferente, a ideia por trás do cálculo do logaritmo é exatamente a mesma!

Por que estamos estudando logaritmos?

Como você acabou de aprender, os logaritmos invertem os expoentes. Por isso, eles são muito úteis na resolução de equações exponenciais.
Por exemplo, o resultado de 2x=5 pode ser dado na forma de logaritmo, x=log2(5). Você aprenderá a calcular essa expressão logarítmica nas próximas lições.
As expressões e funções logarítmicas também acabam sendo muito interessantes por sua vez e, na realidade, são muito comuns no mundo à nossa volta. Por exemplo, diversos fenômenos físicos são medidos com escalas logarítmicas.

E agora?

Saiba mais sobre as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a reescrever expressões logarítmicas e sobre a regra da mudança de base, que nos permite calcular qualquer logaritmo que quisermos usando a calculadora.

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