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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 11
Lição 26: Equações logarítmicas (Álgebra nível 2)Equações logarítmicas: variável no argumento
Neste vídeo, resolvemos a equação log(x)+log(3)=2log(4)-log(2). Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.
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Transcrição de vídeo
RKA - Estão pedindo para resolver o "log x + log 3",
que é igual a "2 log 4 - log 2". Então, vou reescrever. "log x" mais o "log 3" é igual a 2 vezes o "log 4"
menos o "log 2" (ou logaritmo de 2). Um lembrete: quando você vê um logaritmo escrito sem uma
base, a base implícita é 10. Então, podemos escrever 10 aqui, 10 aqui e 10 aqui. Mas
para o restante deste exemplo, eu não vou escrever o 10 para economizar tempo;
mas lembre-se de que significa "log₁₀". Essa expressão é a potência a qual
tenho que elevar 10 para chegar a "x"; a potência a qual tenho que
elevar 10 para chegar a 3. Agora, com isso fora do caminho, vamos ver
que propriedades de logaritmos dá para usar. Se todos têm a mesma
base, a gente sabe que... se tem "logₐ b + logₐ c" é o mesmo
que "logₐ (bc)". E também sabemos... (vou escrever todas as propriedades do
logaritmo que conhecemos)... também sabemos que se tem um logaritmo,
se tenho "b" vezes "logₐ c" é igual a "logₐ (cᵇ)". A gente sabe que, de fato,
isso é derivado diretamente dos dois; que, se tenho "logₐ b - logₐ c", que
isso é igual a "logₐ (b/c)". E realmente é derivado diretamente
desses dois. Agora, com isso resolvido, vamos ver o que podemos aplicar. Aqui, a gente vê que todos
os "logs" têm a mesma base, e tem "log x + log 3";
então, por essa propriedade, a soma dos logaritmos com a mesma base
vai ser igual a base log (opa, desculpa).. "base 10 log". Vou anotar aqui: "log₁₀ 3x". Baseado nesta propriedade,
poderia ser escrito: "log₁₀ 4²", que é realmente apenas 16. E ainda tem "-log₁₀ 2". Agora, usando esta última propriedade, sabemos que tem um logaritmo
menos outro logaritmo, e vai ser igual a "log₁₀ (16/2)", 16 dividido por 2,
que é o mesmo que 8. O lado direito fica
simplificado para "log₁₀ 8"; o lado esquerdo é "log₁₀ 3x". Se 10 a uma dada potência será igual a "3x", e 10 à
mesma potência será igual a 8, "3x" deve ser igual a 8; "3x = 8". E dá para dividir
os dois lados por 3. Dividindo os dois lados por 3, você
tem "x = 8/3". Uma forma é "10a..." (isso é um expoente), se elevo 10 a esse expoente, tenho "3x"; 10 a esse expoente tenho 8. Oito e "3x" devem ser a mesma coisa.
Outra forma é: vamos elevar 10 a esta potência nos dois lados. Então, poderia
dizer: 10 à esta potência e 10 à esta potência... se elevar 10 à potência que
preciso elevar 10 para obter "3x", bom, só vou conseguir "3x". Se elevar 10 a potência
a qual preciso para elevar 10 de modo a obter 8, só vou obter 8. Então, mais
uma vez, tenho "3x = 8", e pode simplificar; você tem "x= 8/3".