Lei de Benford (com Vi Hart, 2 de 2)

RKA3JV - No último vídeo, eu estava explicando para vocês um pouco sobre os mistérios da Lei de Benford. Agora, eu vou pedir para vocês tentarem descobrir, tentarem adivinhar o porquê desta Lei de Benford, o porquê da lei do primeiro dígito funcionar. E eu vou tentar neste vídeo mostrar de uma maneira mais ou menos gráfica, que seja fácil de entender, o porquê de esta lei poder ser aplicada à realidade, ao mundo real, e o porquê de ela funcionar. Só para deixar bem claro, a Lei de Benford diz que a probabilidade de eu pegar qualquer número, cujo o primeiro algarismo seja 1, é 30%, que vai ser maior que a probabilidade de pegar um outro número com o primeiro algarismo 2, que vai ser maior que pegar esta, e assim vai. É mais ou menos o que está neste gráfico aqui. A probabilidade de pegar o 1 é maior que a propriedade de pegar o 2, que é maior que a de pegar o 3, 4, 5 e assim vai até o fim da tabela. Onde a gente tem aqui uma probabilidade, estes três últimos números são quase constantes, porque a reta está se aproximando de uma assíntota aqui no eixo horizontal. Então, sem mais delongas, vamos procurar o porquê disso, qual a ligação intuitiva que a gente pode fazer para explicar isto aqui. Então, aqui eu tenho uma escala, que pode não ser muito familiar para vocês, é uma escala logarítmica. Ou seja, cada intervalo igual, estes intervalos aqui que percorrem espaços iguais, equivalem a multiplicar por 10. Ou seja, aqui vai ser 1, aqui vai ser 10, aqui vai ser 10 vezes 10 que vai ser 100, aqui vai ser 100 vezes 10, que vai ser 1.000, 10 mil, 100 mil, 1 milhão, e assim vai. Se vocês fossem olhar em uma escala linear, que é aquela escala que vocês provavelmente estão mais acostumados, aqui seria, por exemplo, 1, 2, 3, 4, e assim vai. Só que como é uma escala logarítmica, a gente multiplica por 10. E se a gente multiplica por 10 e é uma escala logarítmica, a gente consegue perceber que os espaços aqui entre o valor de (1, 2), por exemplo, é maior do que o intervalo entre 2 e 3, que é maior que o intervalo de 3 e 4, e assim vai. Então, agora, a gente pode começar a pensar nisso daqui como a Lei de Benford. Se a gente olhar este intervalo aqui, eu vou marcar aqui de outra cor, este intervalo aqui, dentro deste quadrado. Se a gente for pegar e contar como se isto daqui tudo fosse o nosso espaço total, e a gente quer ver quanto que isso daqui equivale neste espaço total, destes blocos totais, isto daqui vai corresponder exatamente a este espaço aqui. Ou seja, aproximadamente 30% de todo este espaço aqui. E isto está condizendo com este gráfico. Então, esta parte aqui, a porcentagem de que cada intervalo deste, cada bloco deste ocupa deste espaço de 1 até 10, já é condizente com a Lei de Benford. Só que a gente também não precisa pegar só nestas bases aqui, a gente pode, por exemplo, pegar na base 2. Eu vou pegar aqui, eu vou pegar outra cor, eu vou marcar aqui alguns números da base de 2. Então, 2⁰ = 1, eu vou marcar aqui. 2¹ = 2, marquei aqui. 2² = 4, 2³ = 8, eu já marco aqui. 2⁴ = 16, que vai ser alguma coisa mais ou menos aqui. 2⁵ = 32, que vai ser mais ou menos aqui, e assim vai. Eu acho que não ficou muito certo aqui, só que se a gente fosse olhar para a sequência de base 2, o intervalo entre duas bases vai ser igual ao intervalo entre as duas anteriores ou as duas próximas, vai ser igual a cada um aqui, vai ter o mesmo intervalo, o mesmo espaço entre cada valor. Se a gente for olhar probabilidade de pegar um destes pontos no gráfico, imagine que este gráfico seja infinito, que eu tenha infinitos pontos, todos eles marcados com intervalos iguais, a probabilidade de eu pegar algum ponto que esteja inserido nestes quadrados. Deixe-me fazer de outra cor, eu acho que esta cor não ficou muito boa. De cair em um destes quadrados aqui, que são os quadrados maiores, será de 30%, o que condiz com a Lei de Benford. Então, até em uma escala de base 2, a probabilidade de eu ter um ponto dentro deste intervalo aqui, é maior que ter neste segundo quadrado aqui, que vai estar aqui, que é maior que o terceiro, maior que o quarto, e assim vai. E isso condiz perfeitamente com a Lei de Benford. Então, a gente pode olhar e provar a Lei de Benford olhando para uma escala logarítmica.