Reescrita do quociente de potências (expoentes racionais)

RKA - Aqui nós temos essa expressão: "m" elevado a 7 sobre 9, dividido por "m" elevado a 1 terço igual a "m" elevado a "k" sobre 9. E eu quero simplificar isso daqui o máximo possível até descobrir o valor desse "k". Será que você consegue fazer? Pause o vídeo, tente fazer, que agora eu vou dar a solução. Aqui é o seguinte, tem várias maneiras que eu posso abordar esse problema, uma delas é através da propriedade da potenciação que diz que a divisão de potência de bases iguais, eu conservo a base e subtraio os expoentes. Então, se eu estiver aqui, por exemplo, x elevado a "a", dividido por x elevado a "b", isso é a mesma coisa que o x elevado a "a" menos "b"; é só subtrair os expoentes. Eu posso pensar da seguinte maneira também: x elevado a "a", sobre o x elevado a "b", isso é a mesma coisa que o x elevado a "a" multiplicado por 1 sobre x elevado a "b". Dá no mesmo, não é? Nós temos o seguinte: se eu inverter essa fração aqui, eu vou ficar com o x elevado a "a", multiplicado por x elevado a "-b", eu inverto o sinal do expoente. E agora tem uma multiplicação de potência de mesma base, onde eu conservo a base, ou seja, x e somo os expoentes: "a" mais "-b". "a" mais "-b" é a mesma coisa que a" menos "b". Então está aqui a nossa propriedade mostrada para você de maneira bem tranquila. E, portanto, o que eu vou fazer aqui vai ser exatamente pegar essa divisão de potência de bases iguais e reescrever subtraindo os expoentes. Então, aqui vai ficar m, que está elevado a 7 sobre 9, menos um terço, só subtrair os expoentes aqui. Aí você percebe comigo, que os denominadores, para eu efetuar essa subtração, têm que ser iguais. Para que aqui, esse 3 vire um 9, eu preciso multiplicar por 3. Então aqui, 1 vezes 3 também dá 3. Vai ficar 3 sobre 9 aqui. Tudo isso ainda, obviamente, igual a m elevado a k sobre 9. Agora repara aqui comigo! Isso daqui vai dar quanto? 7 nonos menos 3 nonos dá 4 nonos, tranquilo. Então, eu vou ter o m, que vai estar elevado a quatro nonos, e aquilo ali ainda tem que ser igual, obviamente, a m elevado a k sobre 9. Então, isso daqui tem que ser igual. Repara que a base é a mesma, então esse 4 nonos aqui tem que ser igual à k sobre 9. Vou colocar aqui: 4 sobre 9 tem que ser igual a k sobre 9, e aí a gente tira, de maneira bem tranquila, que o k tem que ser igual a 4. Então, dessa forma, conseguimos descobrir o valor do k, que era o nosso objetivo. Até o próximo vídeo!