Problemas de crescimento e decaimento exponencial

RKA - Vamos resolver alguns problemas que lidam com crescimento e decaimento exponencial. Temos aqui um primeiro problema. Suponha que uma substância radioativa decaia a uma taxa de 3,5% por hora. Qual é o percentual da substância que sobra após 6 horas? Então, vamos fazer uma pequena tabela aqui. Vamos fazer uma pequena tabela aqui apenas para imaginarmos o que irá acontecer. E nós tentaremos buscar uma fórmula geral para nos dizer quanto que sobra após "n" horas. Logo, vamos dizer as horas que se passaram e porcentagem que sobra. Então a porcentagem que sobra. Vou escrever aqui porcentagem que sobra. Portanto, após zero horas, qual é a porcentagem que sobra? Bem, isso ainda não decaiu, então nós temos que sobra 100%. Após 1 hora, o que aconteceu? Isso decai a uma taxa de 3,5% por hora, então 3,5% se foi. Outra maneira de pensar nisso é 0,965. Lembre-se, se você pega 1 - 3,5%. ou 100% - 3,5%, isso aqui é o que nós estamos perdendo a cada hora e o resultado disso aqui será 96,5%. Logo, a cada hora, nós teremos 96,5 por cento da anterior. Portanto, na hora 1 nós teremos 0,965 · 100, então 0,965 · 100. Agora, o que acontece na hora 2? Bem, nós teremos 96,5% da hora anterior. Nós teremos perdido 3,5%, o que significa que nós teremos 96,5% da anterior. Assim, isso será 0,965 vezes isso, então vezes 0,965 · 100. 0,965 · 100. E eu acredito que você já está vendo como está caminhando no geral. Na hora 1, nós temos 0,965 elevado a 1 vezes 100, na hora zero é 0,965 elevado a 0 mas nós não vemos isso, porque isso dá 1, e aqui tem 1 · 100 mas nós não estamos vendo isso. Na segunda hora, 0,965 elevado ao quadrado vezes 100. Então, no geral, na enésima hora, deixe-me fazer isso com uma cor diferente aqui. Na enésima hora, nós teremos 0,965 elevado a "n" vezes 100. Isso é o que sobra da substância radioativa após "n" horas e às vezes você verá isso escrito da seguinte forma: você tem o seu valor inicial vezes a sua taxa elevado à potência "n", ou a enésima potência, e isso é o quanto você terá de sobra após passadas "n" horas. Bem, e agora nós podemos responder à questão, após 6 horas quanto nós teremos de sobra? E nós teremos 100 · 0,965 e isto está elevado à 6ª potência. E nós podemos utilizar a calculadora para calcular quanto vale isso. Então, vamos utilizar essa confiante calculadora. Então, nós temos 100 · 0,965 e isso está elevado à 6ª potência. E o nosso resultado é 80,75. Isso está em porcentagem logo isso é 80,75% da nossa substância original. Logo, isso é igual a 80,75%. Vamos fazer mais um desse tipo, então vamos para um segundo problema. E o que nós temos? Nádia possui uma rede de restaurantes fast-food que operava 200 lojas em 1999. Se a taxa de crescimento dessa rede foi de 8% ao ano, quantas lojas da rede de restaurante estava operando em 2007? E vamos pensar nisso do mesmo modo, então vamos colocar aqui anos após o ano de 1999. Então, anos após 1999. E aqui vamos colocar a nossa quantidade de lojas. Vamos colocar então a quantidade de lojas. A quantidade de lojas que estavam sendo operadas em cada ano. Logo, em 1999 esse valor aqui é zero, porque não se passou nem 1 ano após 1999 e nessa época ela operava 200 lojas. E aí, então, depois, no ano 2000, que é 1 ano após 1999, quantas lojas ela está operando? Bem, ela cresce a uma taxa de 8% ao ano, portanto ela estará operando todas as lojas que ela tinha antes, todas as lojas que ela tinha antes, mais 8% das lojas que ela tinha antes. Então, isso vai ser 1,08 vezes o número de lojas que ela tinha antes. Se você está aumentando 8% isso é equivalente a multiplicar por 1,08. Deixe-me tornar isso aqui um pouquinho mais claro. Então, isso aqui é 200 mais vírgula 08 vezes 200, e isso aqui é apenas uma vez 200, então uma vez 200 mais 0,08 vezes 200, isso vai dar 1,08 vezes 200. Logo, em 2001, o que está acontecendo? Em 2001 já se passaram 2 anos, então isso será 1,08 vezes o que eu tenho no ano anterior, ou seja, 8% a mais do que eu tinha no ano anterior. Então, isso vai ser 1,08 vezes isso aqui (1,08 · 200) 1,08 · 200. E eu acredito que você já pegou a ideia geral disso. Então, se após "n" anos, ou seja, "n" anos após 1999, isso será 1,08, deixa eu só escrever isso aqui de forma um pouquinho diferente. Eu vou escrever a mesma coisa, só vou mudar um pouquinho a ordem aqui. Então, isso vai ser 200 · 1,08 e isto está elevado à enésima potência ou à potência "n". Após 2 anos, 1,08 elevado ao quadrado, 1 ano 1,08 elevado a 1, zero anos é a mesma coisa que... isso seria 1 · 200 que é a mesma coisa que 1,08 elevado a zero, que dá 1. Então, estamos perguntando quantas lojas essa rede restaurante estava operando em 2007. Bem, em 2007 o valor de "n" é igual a 8, e por que 8? Porque já se passaram 8 anos depois de 1999, portanto o que nós vamos fazer é substituir "n" por 8 já que "n" é igual a 8. Então, a resposta para a nossa pergunta será 200 · 1,08 e isso tudo está elevado a 8, e 8 porque "n" é igual a 8. Então, vamos pegar a nossa calculadora e calcular isso. E nós temos que fazer, nós temos que fazer 200 vezes 1,08 que está elevado a 8. Bom, e o nosso resultado é 370,18 mais ou menos. Ela estará operando 370 restaurante e estará em processo de abrir mais um, então se nós arredondamos para baixo nós teremos aproximadamente, nós teremos aproximadamente 370 restaurantes, o que significa que ela estaria operando 370 restaurantes no ano de 2007. Agora, veja que 8% de crescimento pode não parecer muita coisa, ou pode aparecer alguma coisa que não seja tão rápida ou tão promissora, mas, em menos de uma década, em apenas 8 anos nós teríamos, ela teria aumentado sua rede de restaurantes de 200 para 370 restaurantes. Em apenas 8 anos, você vê que esses acúmulos de 8%, na verdade, acabaram sendo um tanto promissores. Espero que vocês tenham gostado do vídeo e nos vemos nos próximos.