Como simplificar expressões irracionais (soma)

RKA5GM - Temos que somar e simplificar. Temos a √2x² + 4 vezes √8 + 3 vezes √2x² + √8. Para que possamos fazer um pouco de adição, podemos realmente simplificar em primeiro lugar, e depois somar. Ou podemos acrescentar em primeiro lugar, e depois simplificar. Mas parece que já podemos somar. Vamos lá! Aqui, tenho uma raiz principal de 2x², e aqui, tenho três raízes principais de 2x². Se tenho 1, de alguma coisa aqui, e 3 de alguma coisa aqui, precisamos somá-los. Posso emprestar um coeficiente aqui, para deixar claro que se trata de 1 de algo, e que tenho 3 desse algo. Então, se tiver 1 desse algo, mais 3 desse algo, eu somo e vou ter 4. Então isso é 4 vezes a raiz principal de 2x², e isso confunde um pouco. Imagine que toda a raiz principal de 2x² era uma variável. Vamos dizer que a coisa toda era "a". Digamos que essa coisa toda era "a" também, porque é a mesma coisa. Você teria 1a + 3a, que vai dar 4a. Neste caso, "a" é tudo isso aqui. Somamos esses termos e depois pensamos que temos 4 raízes principais de "a". E que temos mais uma raiz principal de "a". É a mesma ideia. Você tem 4 dessas coisas que estou circulando em rosa e tem mais uma dessas coisas que estou circulando em rosa. Esse coeficiente 1 é implícito. Se tiver 4 de alguma coisa, mais 1 dessa coisa, temos 5 dessa coisa. Então, + 5 vezes a raiz quadrada de 8 (5 vezes √8). Agora, vamos ver se podemos simplificar isso ainda mais. Temos 4 de uma coisa e temos 5 de outra coisa, portanto não podemos simplesmente adicionar essas duas coisas, mas talvez possamos simplificar um pouco. Sabemos que a raiz principal de 2x², isso é a mesma coisa que... Então, deixa eu escrever o 4 na frente. Então temos o 4, e a raiz principal de 2x² é a mesma coisa que √2 vezes √x². Então só reescrevi essa parte aqui. E temos + 5 vezes... 8 pode ser escrito como produto de um quadrado perfeito e um quadrado não tão perfeito. 8 pode ser escrito como 4 vezes 2. Então vamos escrever assim. Se visualizarmos isso tudo, essa é a raiz principal, a raiz quadrada de 4 vezes 2. Podemos reescrever como: 5 vezes a raiz quadrada de 4... ou √4 vezes √2. O que podemos simplificar aqui? Sabemos quanto é a raiz principal de x², é a raiz quadrada positiva de x². Então, não é apenas "x". Você pode ser tentado a dizer que é "x", mas como sabemos que a raiz quadrada é positiva, temos que dizer que é o módulo de |x|. Pois... e se "x" fosse negativo? Se "x" fosse negativo você teria... digamos que era -3. Teria -3². Teria um +9. E assim, a raiz principal de 9 vai ser um +3. Não seria "x". Não seria -3. Seria +3. Você tem que usar módulo. Outra coisa que é um quadrado perfeito é o 4 aqui. Sua raiz principal é 2. Sua raiz principal quadrada. Eu diria: é 2. Agora, você tem... se a gente mudar apenas a ordem que estamos multiplicando aqui, você tem 4, 4 vezes um módulo de |x|, 4 vezes o valor absoluto de |x| vezes √2. Quero fazer isso na mesma cor amarela. Vezes a raiz quadrada de 2, + 5 vezes 2, que é 10. Certo? Isso tudo é simplificado para 2. Então temos: + 10 √2. Poderíamos terminar e dizer que terminamos adicionar e simplificar. Ou pode adicionar um pouco mais, dependendo de como quer visualizar, porque aqui tem 4 vezes |x| √2, e aqui, você tem 10 √2. Então, você tem 4 módulos de |x| de uma coisa e tem 10 dessa mesma coisa. Você poderia somá-las. Ou outra maneira de pensar seria fatorar a raiz quadrada de 2. Qualquer um desses funciona, então você obtém (4 vezes |x| + 10) vezes √2. Dependendo de como vê, isso, ou isso mais simplificado, um desses irá satisfazê-lo.