Introdução à racionalização de denominadores

RKA - Neste vídeo, vamos aprender a racionalizar o denominador. (racionalizar). O que queremos dizer com isso é que teremos uma fração que possui um denominador não racional. O mais simples que consigo pensar é 1 sobre a raiz quadrada de 2. Para racionalizar esse denominador, vamos apenas representar esse número novamente de uma forma que não haja um número irracional no denominador. A primeira dúvida que pode surgir é: "Por que devemos nos preocupar com isso? Por que temos que racionalizar os denominadores?" E vocês não precisam racionalizá-los. No entanto, acredito que o motivo pelo qual isso aparece em muitas aulas de álgebra, e por que muitos professores pedem para fazer isso, é para transformar os números em um formato comum. Acredito também... uma vez me disseram que antigamente, antes de existirem calculadoras, para algumas formas de cálculos, as pessoas achavam mais fácil ter um número racional no denominador. Não sei se isso é verdade ou não. O outro motivo é meramente estético. Algumas pessoas dizem que não gostam de falar quanto é "1 sobre a raiz quadrada de 2". Eu não sei qual é o resultado. Bom, eu quero saber qual é o tamanho da torta. Quero que o denominador seja um número racional. Sendo assim, vamos aprender a racionalizá-lo. Assim, a forma simples, se tiver apenas um número irracional no denominador, como está aqui, é multiplicar o numerador e o denominador por esse número irracional sobre aquele número irracional. O resultado é claramente 1. Qualquer coisa sobre qualquer coisa, ou qualquer coisa sobre a mesma coisa, vai ser 1. Não estamos alterando, essencialmente, o número, estamos apenas alterando a forma de representá-lo. Então, isso será igual a quanto? O numerador será 1 vezes a raiz quadrada de 2, que é a raiz quadrada de 2; o denominador será a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 2. Bom, a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de dois é igual a 2. O resultado é 2. Automaticamente, a raiz quadrada disso deve ser igual a 2. Estamos calculando a raiz quadrada disso, estamos multiplicando por ele mesmo; portanto, o resultado é 2. Racionalizamos o denominador. Não nos livramos do sinal de radical, mas o levamos para o numerador. Agora, no denominador, temos um número racional. A gente poderia dizer: "agora temos a raiz quadrada de duas metades". É mais fácil de falar mesmo, por isso talvez essa seja a outra justificativa para racionalizar esse denominador. Vamos ver alguns exemplos. Vamos supor que eu tenha 7 sobre a raiz quadrada de 15. A primeira coisa que gostaria de fazer é simplificar esse radical aqui. Vejamos, raiz quadrada de 15... 15 é igual a 3 vezes 5, nenhum desses números é uma raiz perfeita. Trata-se de como podemos simplificar ao máximo, na verdade. Da mesma forma que fizemos aqui, vamos multiplicar isso pela raiz quadrada de 15 sobre a raiz quadrada de 15. Isso será igual a 7 vezes a raiz quadrada de 15 (basta multiplicar os numeradores); sobre a raiz quadrada de 15 vezes a raiz quadrada de 15. O resultado é 15. De novo, racionalizamos o denominador; agora transformamos isso em um número racional. Basicamente, levamos o radical para cima, ou levamos o número irracional para cima, no numerador. Não alteramos o número, somente alteramos a forma de representá-lo. Vamos avançar um pouco mais no assunto. O que ocorre se tivermos algo do tipo... 12 sobre 2 menos a raiz quadrada de 5? Nessa situação temos um binômio no denominador, e esse binômio possui um número irracional. Não consigo usar o "truque" aqui. Se multiplicar isso pela raiz quadrada de 5 sobre a raiz quadrada de 5, ainda vou ter um denominador irracional. Deixa eu mostrar, somente para mostrar que não vai funcionar. Se eu multiplicar essa raiz quadrada de 5 sobre a raiz quadrada de 5, o numerador será 12 vezes a raiz quadrada de 5; o denominador (temos que distribuir isso aqui) será 2 vezes a raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 5, vezes raiz quadrada de 5, que é 5. Podemos ver que nessa situação o "truque" não ajudou, porque a raiz quadrada de 5, embora essa parte tenha se tornado racional, tornou-se um 5, essa outra se tornou irracional. Dois vezes a raiz quadrada de 5. Você não vai querer fazer isso quando se tem um binômio que possui um número irracional no denominador. O que a gente pode fazer aqui é usar as nossas habilidades no que diz respeito à diferença com potências elevadas ao quadrado. Aprendemos há muito tempo... (bom, não tanto tempo)... que, se tivéssemos 2 menos a raiz quadrada de 5, e multiplicássemos isso por 2 mais a raiz quadrada de 5, qual seria o resultado? Talvez você se lembre; e caso não tenha reconhecido isso imediatamente, temos aqui exatamente o mesmo padrão de "a - b" vezes "a + b". Vimos em vários vídeos antigos que é "a² - b²". Uma breve revisão. Isto é "a" vezes "a", que é "a²"; "a" vezes "b", que é "ab"; "-b" vezes "a", que é "-ab". Então, "-b", vezes "+b", que dá "-b²". Cancelamos esses aqui e a gente fica somente com "a² - b²". 2 menos a raiz quadrada de 5, vezes 2 mais a raiz quadrada de 5, será igual a 2², que é 4. Deixa eu escrever assim: será igual a 2² menos a raiz quadrada de 5², que é 5. Isso seria igual a 4 menos 5, ou "-1". Se aproveitar e utilizar a diferença de potências elevadas ao quadrado de binômios, ou a diferença de fatoração de quadrados, qualquer que seja a sua forma preferida de visualizá-la, você poderá racionalizar esse denominador. Então vamos lá. Permitam-me reescrever o problema. 12/2 menos raiz quadrada de 5. Nessa situação apenas vou multiplicar o numerador e o denominador por 2, mais a raiz quadrada de 5 sobre 2 mais a raiz quadrada de 5. De novo, estou apenas multiplicando o número por 1, por isso não estou alterando o número fundamental. Estou apenas alterando a forma de representá-lo. O numerador vai ser 12 vezes 2, que é igual a 24, mais 12 vezes a raiz quadrada de 5. (12 vezes a raiz quadrada de 5). De novo, isso é como uma fatoração da diferença com potências elevadas ao quadrado. Isso vai ser igual a 2², que será exatamente igual a isso aqui, que é 4 menos 1, ou poderíamos... desculpa, 4 menos 5; é 2² menos raiz quadrada de 5²; é 4 menos 5. Ou poderíamos escrever como "-1". Ou a gente poderia colocar o 1 ali e colocar um sinal de menos ali na frente. Com isso, não é nem preciso colocar 1 no denominador; poderíamos dizer apenas que é igual a "-24" menos 12 e raiz quadrada de 5. Nesse caso, conseguimos meio que simplificar também. Não foi apenas por uma questão de racionalização. Na verdade, melhorou um pouco a aparência. Não sei se já mencionei no começo: isso é bom porque não é óbvio. Se estamos tentando construir um foguete, e fala que essa é a sua resposta, e que essa outra é a minha, isso não é óbvio (pelo menos para mim) que, ao olhar isso aqui, não vou pensar que se trata do mesmo número. No entanto, se concordamos em sempre racionalizar os nossos denominadores, vamos pensar: "tudo bem, temos o mesmo número". Agora estamos prontos para enviar o nosso foguete para Marte. Vamos ver mais um exemplo. Vamos fazer um com variáveis. Vamos supor que temos... "5y" sobre 2 vezes a raiz quadrada de "y" menos 5. Vamos fazer exatamente o mesmo processo. Temos um binômio com um denominador irracional. Pode ser um racional, não sabemos qual o valor de "y", mas "y" pode assumir qualquer valor, portanto, em certos pontos, poderá ser irracional. Mas realmente não queremos um radical no denominador, então isso será igual a quanto? A gente vai multiplicar o numerador e o denominador por 2 raiz quadrada de "y" mais 5 sobre 2 raiz quadrada de "y" mais 5; isso dá 1. Não estamos alterando o número, só estamos multiplicando ele por 1. Vamos começar com o denominador. O denominador será igual a quanto? Será igual a isso ao quadrado... Novamente, uma diferença com potências elevadas ao quadrado, será 2 vezes a raiz quadrada de "y" ao quadrado, menos 5². Ao fatorar isso, teremos 2 raiz quadrada de "y" mais 5 vezes 2 raiz quadrada de "y" menos 5. É uma diferença de quadrados. O nosso numerador é "5y" vezes 2 e raiz quadrada de "y", o que seria 10... Isso é "y" elevado a 1, e isso aqui é "y" elevado a 1/2. Poderíamos escrever "y" raiz quadrada de "y"... "10y" raiz quadrada de "y", ou poderíamos escrever como "y" elevado a 3/2, ou a "1 ½", da forma que preferir visualizar. Finalmente ,"5y" vezes 5, que é "+25y". Podemos simplificar isso ainda mais. Nosso denominador será igual a quanto? Vamos ter 2², que é 4; raiz quadrada de "y"², que é "y", "4y" e "-25". Nosso numerador aqui será... poderíamos até escrever isso aqui... poderíamos manter exatamente da forma como está aqui, poderíamos fatorar um "y"... Tem várias possibilidades de fazer isso, mas apenas para simplificar as coisas, vamos deixar aqui como 10. Deixa eu escrever de forma diferente. Poderíamos escrever como... isso é "y" elevado a 1, isso é "y" elevado a 1/2. Poderia ainda escrever isso como "y" elevado a 3/2 se quisesse; poderia escrever isso como "y" elevado, se quisesse, ou poderia escrever como "10y" vezes a raiz quadrada de "y" (todas essas formas são equivalentes) mais "25y". Enfim, espero que tenham achado interessante essa racionalização de denominador.