Exemplo resolvido: como racionalizar o denominador

RKA1MP Pediram que racionalizasse simplificasse esta expressão e, como em muitos problemas, tem muitas formas de fazer. Dá para simplificar um pouco, depois racionalizar e, depois, simplificar um pouco mais. Ou só para racionalizar e simplificar. E, só para ter certeza de que sabe mesmo do que a gente fala, racionalizar significa que a gente não quer ver nenhuma raiz quadrada de números no denominador. Então, tente coloca-lá para fora do denominador. Bom, a primeira coisa a fazer é: vou simplificar um pouco e depois racionalizar. Depois, podemos pensar em outras formas. O que eu gostaria de fazer primeiro é dizer: "Bom, a raiz quadrada de 8 pode ser simplificada um pouco porque 8 é igual a raiz quadrada de 4 vezes 2, que é igual a raiz quadrada de 4 vezes a raiz quadrada de 2. Dá para reescrever essa expressão inteira como, o numerador continua mesmo, 16 + 2x² tudo sobre, dá para reescrever como a raiz quadrada de 4 vezes a raiz quadrada de 2. E a raiz quadrada de 4, sabemos que é 2. A raiz quadrada de 8 dá para reescrever como 2 vezes a raiz quadrada de 2, simplifiquei um pouquinho. E ainda não fiz racionalização nenhuma porque parece que tem um pouco mais de simplificação que eu posso fazer primeiro, porque tudo no numerador e no denominador é divisível por 2. Agora, é só dividir o numerador por 2. Se divide o numerador por 2, 16 dividido por 2, ou pode ver como se estivesse multiplicando o numerador e o denominador por 1/2. 16 vezes 1/2 é 8, 2x² vezes 1/2 é somente x², depois, 2 vezes a raiz quadrada de 2, vezes 1/2 é apenas a raiz quadrada de 2. E é uma raiz quadrada de 2. Tudo foi simplificado para 8 mais x². Tudo sobre a raiz quadrada de 2. Agora, vamos racionalizar. A melhor forma de tirar esse radical do denominador é somente multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 2. Vamos lá. Vezes a raiz quadrada de 2 sobre a raiz quadrada de 2. Agora, só para mostrar que funciona no denominador, qual é a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 2? Vai ser 2. E, no nosso numerador, vamos distribuir nos dois termos nessa expressão. Você tem 8 vezes a raiz quadrada de 2, mais a raiz quadrada de 2, vezes x². E poderia considerar que está pronto. Simplificamos a expressão ou, se quiser, pode fazer a decomposição. Poderia dizer que é igual a 8 raiz quadrada de 2 sobre 2, que é 4 raiz quadrada de 2, mais raiz quadrada de 2 sobre 2, vezes x². Dependendo do seu gosto, pode ver como mais simples ou isto como mais simples, mas os dois são igualmente válidos. Agora, se eu disse que tem múltiplas formas para fazer, poderia ter racionalizado desde o começo. Vou começar com o nosso problema original. Nosso problema original era 16 + 2x² sobre a raiz quadrada principal de 8. Poderia ter racionalizado desde o início, multiplicando o numerador e o denominador pela raiz quadrada principal de 8 e, no nosso denominador, vamos chegar a 8. Depois, no nosso numerador, chegaria a 16 vezes a raiz quadrada de 8, mais 2 vezes a raiz quadrada de 8, vezes x². Agora dá para tentar simplificar um pouco mais. Você poderia dizer: "Bom, tudo no numerador e no denominador é divisível por 2." O 16 se torna 8, o 2 se torna 1 e depois esse 8 se torna um 4. Depois, tem 8 raiz quadrada de 8 mais a raiz quadrada de 8 vezes x². Depois, tudo sobre 4. Tudo isso sobre 4. E você diz: "Espere, isso ainda parece diferente do que tinha aqui." E a razão é que ainda não simplificamos esse radical. A gente sabe que podemos reescrever a raiz quadrada de 8 como 2 raiz quadrada de 2. Depois, dá para ver de novo que tudo no numerador e no denominador também é divisível por 2. Vamos lá de novo. Se dividir tudo no numerador por 2, pode se livrar desse 2, desse 2. Tudo no denominador por 2, se torna 2. Depois, tem 8 raiz quadrada de 2, mais, isso é apenas 1 agora, mais a raiz quadrada de 2 "x²" sobre 2, que é, exatamente, o que a gente conseguiu aqui.