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Simplificação de expressões irracionais: três variáveis

Um exemplo resolvido de como simplificar a raiz cúbica de 27a²b⁵c³ usando as propriedades da potenciação. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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RKA - Pedem para a gente simplificar a raiz cúbica de "27a² vezes b⁵ vezes c³". E o objetivo, ao tentar simplificar uma raiz cúbica (uma raiz cúbica como essa), sempre é observar todas as partes da expressão que são cubos perfeitos, algo elevado 3; que podemos simplesmente extrair a raiz cúbica para tirá-los do sinal radical. E deixar tudo que não for um cubo perfeito dentro dele. Vamos ver o que podemos fazer. Para começar, 27. Você pode ou não perceber que isso é um cubo perfeito. Se não tiver percebido, podemos fazer a fatoração em números primos e comprovar. 27 é 3 vezes 9; e 9 é 3 vezes 3. Portanto, a fatoração em números primos de 27 é 3 vezes 3 vezes 3. Que é o mesmo que 3³. Então, vamos reescrever a expressão inteira aqui. Vamos tentar em termos de números que são cubos perfeitos e números que não são. Então, 27 pode ser reescrito como 3³. Em seguida, temos "a²". Claramente, não é um cubo perfeito, mas elevado ao cubo seria. Vamos escrever isso... podemos mudar a ordem, porque temos vários termos que se multiplicam entre si. Vou escrever o "a²" aqui. "b⁵".... "b⁵" não é um cubo perfeito sozinho, mas pode ser escrito como o produto de um cubo perfeito com outro termo. "b⁵" é exatamente a mesma coisa que "b³ vezes b²". Se quiser ver isso claramente, "b⁵" é: "b" vezes "b" vezes "b" vezes "b" vezes "b". Os três primeiros são claramente "b³" e temos "b²" logo após. Assim, podemos reescrever "b⁵" como produto de um cubo perfeito. Vou escrever "b³" usando a mesma cor roxa. Temos "b³" aqui e esse "b³ vezes b²". Vou escrever esse "b²" aqui. A gente deduz que vamos multiplicar esses termos. E, finalmente, a gente tem (outra cor que não a azul) "c³"; claramente, um cubo perfeito. É "c³" ("c" ao cubo, vou colocar aqui). Então, isso é "c³" e, é claro, ainda temos a raiz cúbica. Então, ainda estamos tentando extrair a raiz cúbica disso tudo e sabemos das propriedades das potências ou, podemos dizer, das propriedades dos radicais, que são exatamente a mesma coisa. Extrair a raiz cúbica de tudo isso é o mesmo que extrair a raiz cúbica desses fatores individuais e, então, multiplicá-los (que é o mesmo que a raiz cúbica). E posso separá-los individualmente; ou posso dizer que a raiz cúbica de 3³, "b³", "c³", vou ter que usar dos dois jeitos, então vou começar a extrair separadamente. Isso é o mesmo que a raiz cúbica de 3³ vezes a raiz cúbica... (vou escrever todos enquanto faço; vamos usar um código de cores para a gente não se confundir)... vezes a raiz cúbica de "b³" vezes a raiz cúbica... vezes a raiz cúbica de "c³". "c³" vezes a raiz cúbica. Vou agrupar esses dois termos apenas porque não vamos poder simplificá-los mais. Vezes a raiz cúbica de "a²b²"... (vou manter a mesma cor).... "a²" e "b"... agora eu poderia, poderia ter dito que isso é vezes a raiz cúbica de "a²" vezes a raiz cúbica de "b²". Mas isso não simplifica nada, então vou deixar assim mesmo. E, então, podemos olhar individualmente. A raiz cúbica de 3³ ou a raiz cúbica de 27, bom, isso claramente será (vou fazer em amarelo), isso claramente é 3, certo? 3 elevado a 3 é 3³ ou 27. Esse termo aqui: a raiz cúbica de "b³"... bom, é apenas "b". E a raiz cúbica de "c³", claramente... (eu não vou fazer isso aqui)... é apenas "c". Logo, toda a nossa expressão foi simplificada como 3 vezes "b" vezes "c" vezes a raiz cúbica de "a²b²" (vezes a raiz cúbica de "a²b²") e terminamos. Eu só quero fazer mais uma coisa, só porque mencionei que faria. Podemos simplificar dessa forma, ou perceber que esta expressão aqui pode ser escrita como "(3bc)³" Mas, se elevar os três termos ao cubo e multiplicá-los, é a mesma coisa que multiplicá-los primeiro e depois elevar ao cubo, o que vem das nossas propriedades das potências ou exponenciais. Então, podemos reescrever isso como a raiz cúbica de tudo isso vezes a raiz cúbica de "a²b²". E a raiz cúbica de tudo isso, de "(3bc)³"... bom, vai ser apenas "3bc". Multiplicar pela raiz cúbica de "a²b²". Eu não me preocupei em usar o código de cores dessa vez, porque já descobrimos uma maneira de resolver. Mas, espero que também faça sentido. A gente poderia ter feito isso dos dois jeitos, mas o importante é obter a mesma resposta.