Como simplificar expressões com raízes quadradas: sem variáveis

RKA- Aqui, ele nos pede: simplifique a expressão removendo os fatores que são quadrados perfeitos de dentro dos radicais e combine os termos. Então está aqui, vamos ver como é que isso daqui funciona. Eu tenho menos a raiz quadrada de 40, mais a raiz quadrada de 90. Será que eu tenho como simplificar isso daqui? Vamos tentar. Eu posso colocar aqui: menos a raiz quadrada de 40 mais a raiz quadrada de 90 como sendo a mesma coisa aqui, dentro do radical, como sendo aqui 4 vezes 10 e aqui 9 vezes 10. Portanto, eu vou colocar assim: menos a raiz quadrada de 4 vezes 10 mais a raiz quadrada de 9 vezes 10. E, o que eu vou fazer agora aqui, vai ser aplicar uma propriedade da radiciação em que eu posso separar as raízes. Eu vou fazer aqui da seguinte forma: menos a raiz quadrada de 4 vezes a raiz de 10, apenas separei aqui no produto das raízes, mais a raiz quadrada de 9 vezes a raiz de 10. A raiz quadrada de um produto é o produto das raízes. Agora, repare uma coisa aqui comigo, vou até trocar a cor aqui. A raiz quadrada de 4 é igual a 2. A raiz quadrada de 9 é igual a 3. Então, aqui eu vou ter o seguinte, eu vou ficar com -2 vezes a raiz quadrada de 10, +3 vezes a raiz quadrada de 10. Como isso daqui é uma adição ou uma subtração, dependendo da maneira como você vê isso daqui, eu posso muito bem inverter essa ordem, a ordem das parcelas não altera a soma, contanto que eu conserve, obviamente, os sinais. Então, aqui vai ficar o seguinte, eu posso colocar 3 raiz de 10, 3 vezes a raiz de 10 menos 2 vezes a raiz de 10. E quanto dá isso daqui? De maneira muito fácil, muito simples, se eu tenho 3, alguma coisa, -2 dessa mesma coisa, e aí você concorda comigo que vai dar 1 vez aquela coisa ali, que no caso é a raiz quadrada de 10. Uma vez a raiz quadrada de 10, aquele número 1 ali, como um produto nos fatores, ele não altera o valor de nada. Então, 1 vez a raiz de 10 é a mesma coisa que a raiz de 10; muito fácil muito simples. Uma outra maneira de eu tentar perceber esse problema aqui, é fazer o contrário da distributiva, ou seja, colocar essa raiz de 10 aqui em evidência, porque ela é fator comum dos 2 termos, então vou colocar para fora, fazer a distributiva ao contrário. Repare que ela vai ficar em evidência, então eu vou ter a raiz de 10 e vou multiplicar por quanto? Multiplicar pelo que sobrou: 3 e -2. Então, (3 - 2) aqui dentro. Repara que, quando eu fizer a distributiva de novo, eu retorno para essa mesma coisa aqui. Então, 3-2, como dá igual a 1, raiz de 10 vezes 1 é a própria raiz quadrada de 10, que é a resposta dessa nossa primeira questão. Vamos fazer mais então, que isso daqui é interessante, mais uma para a gente fazer. Novamente, mesma coisa. Aqui eu tenho a raiz quadrada de 180, que está multiplicando pela raiz quadrada de meio. Então, eu posso muito bem escrever isso daqui da seguinte forma: raiz quadrada de 180 multiplicado pela raiz quadrada de meio, isso daqui, como eu tenho um produto entre duas raízes, eu posso colocar tudo em uma mesma raiz quadrada. Vai ficar assim então: raiz quadrada grandona de 180 vezes 1 sobre 2. Eu ainda posso escrever, se você preferir assim, colocar na forma de potência. Como é que ficaria então? Aqui não é a mesma coisa que 180 elevado a meio? E aqui é a mesma coisa que 1 sobre 2 elevado a meio, raiz quadrada, expoente 1 sobre 2. Então, ficaria assim: 180 elevado a meio vezes 1 sobre 2 elevado a meio aqui também. Agora, você percebe comigo o seguinte, eu estou multiplicando duas coisas que estão em um mesmo expoente. Eu posso colocar aquele expoente ali em evidência. Então ficaria 180 vezes meio, elevado ao expoente 1 sobre 2, que é a mesma coisa que a raiz quadrada e é a mesma coisa também que isso daqui debaixo, concorda comigo? Seguindo com a resolução, continuando aqui embaixo, 180 multiplicado por meio, multiplicar por meio é a mesma coisa que dividir por 2, concorda comigo? 180 multiplicado por meio dá 90. É a mesma coisa que 180 dividido por 2. Então, raiz quadrada de 90. Repare uma coisa aqui, a raiz quadrada de 90 é a mesma coisa que a raiz de 9 vezes 10, certo? Que por sua vez é a mesma coisa que a raiz de 9 vezes a raiz de 10. Posso separar a raiz de um produto é o produto das raízes. E, aqui, da mesma forma, a raiz quadrada de 9 dá 3, então eu teria 3 vezes a raiz de 10. O resultado final aqui então é 3 raiz de 10. Vamos colocar ali então no nosso resultado. 3 vezes a raiz quadrada de 10 é a forma simplificada de escrever essa expressão aqui. Tem mais uma aqui para a gente fazer, que é essa daqui. Como sempre, você pode a qualquer momento pausar o vídeo para tentar resolver isso daqui, que eu vou dar agora a solução para vocês. Há várias maneiras da gente abordar esse problema aqui, de fatorar esse daqui e simplificar. Eu vou fazer da seguinte forma: eu sei que 128 é a mesma coisa que 64 vezes 2, porque eu fiz isso? Porque o 64 é uma raiz quadrada perfeita, então vou colocar assim: a raiz quadrada de 64 vezes 2 dividido aqui por raiz quadrada, agora o 27, 27 seria 9 vezes 3, porque o 9 também é uma raiz exata. Agora, eu posso muito bem colocar aqui, separar em raízes diferentes, então teria aqui, raiz quadrada de 64 vezes a raiz de 2, e aqui embaixo a raiz de 9 vezes a raiz de 3. Agora, eu posso simplificar isso daqui. Raiz de 64 é a mesma coisa que 8, 8 vezes 8 dá 64, e a raiz de 9 dá 3, 3 vezes 3 é igual a 9. Isso daqui seria a mesma coisa que 8 vezes a raiz quadrada de 2, dividido por 3 vezes a raiz quadrada de 3. Mas, eu ainda posso tentar colocar isso daqui de uma maneira mais simples. Eu posso muito bem escrever isso daqui, fazendo aqui embaixo, posso muito bem colocar 8 terços, pegar essa parte aqui, isolar essa parte racional e multiplicar pelo quê? Repare que eu tenho a raiz quadrada em cima, raiz quadrada embaixo. E, como é uma multiplicação, eu posso muito bem colocar tudo em uma mesma raiz quadrada. E aí ficaria o quê? Raiz quadrada grandona de 2 terços, dessa forma aqui. Eu poderia muito bem acabar por aqui. E aí, a gente percebe que não tem nenhuma adição, nenhuma subtração, era simplesmente a gente fatorar isso daqui de maneira que eu tivesse quadrados perfeitos para poder simplificar e escrever então, dessa forma aqui, que é a forma mais simplificada. Logo, raiz de 128 dividido por 27 é a mesma coisa que 8 terços vezes a raiz quadrada de 2 terços. Novamente, você poderia resolver ou pode ter feito de alguma maneira diferente, porém eu fiz dessa forma aqui que dá o resultado final, e não importa, tem que chegar nesse mesmo resultado. Até o próximo vídeo!