este tipo de exercício é mais razoável usar a tabela?

Depende,para o último pode ser uma boa opção.

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Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 7

Lição 14: Combinação de funções

Adição e subtração de funções

Veja como podemos somar ou subtrair duas funções para criar uma nova função.

Assim como podemos somar e subtrair números, podemos somar e subtrair funções. Por exemplo, se tivéssemos as funções

f

g

, poderíamos criar duas novas funções:

f + g

f - g

Soma de duas funções

Exemplo

Vejamos um exemplo para ver como isso funciona.

Dado que

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2} - 2 x + 5

, encontre

(f + g) (x)

Solução

A parte mais difícil em combinar funções é entender a notação. O que

(f + g) (x)

significa?

Bem,

(f + g) (x)

significa simplesmente encontrar a soma de

f (x)

g (x)

. Matematicamente, isso significa que

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Agora, isso se tornou um problema familiar.

\begin{aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) Defina. \\ = (x + 1) + (x^{2} - 2 x + 5) Substitua. \\ = x + 1 + x^{2} - 2 x + 5 Remova os parênteses. \\ = x^{2} - x + 6 Combine os termos semelhantes. \end{aligned}

Também podemos ver isso graficamente:

As imagens abaixo mostram os gráficos de

y = f (x)

y = g (x)

, e

y = (f + g) (x)

No primeiro gráfico, podemos ver que

f (2) = 3

e que

g (2) = 5

. No segundo gráfico, podemos ver que

(f + g) (2) = 8

Então,

f (2) + g (2) = (f + g) (2)

porque

3 + 5 = 8

Agora é a sua vez de tentar. Convença-se de que

f (1) + g (1) = (f + g) (1)

Calcule cada expressão.

f (1) =

g (1) =

(f + g) (1) =

Vamos resolver alguns problemas.

Nos problemas 1 e 2, sejam

a (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

b (x) = x^{2} + 8 x - 10

Problema 1

Encontre $(a + b) (x)$ ‍.

Problema 2

Calcule $(a + b) (- 1)$ ‍.

Há duas formas de encontrar

(a + b) (- 1)

Método 1: Encontre

(a + b) (x)

e calcule para

x = - 1

Descobrimos, no último problema, que

(a + b) (x) = 4 x^{2} + 3 x - 8

. Vamos substituir em

x = - 1

$\begin{aligned} (a + b) (x) & = 4 x^{2} + 3 x - 8 \\ (a + b) (- 1) & = 4 (- 1)^{2} + 3 (- 1) - 8 \\ = 4 - 3 - 8 \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Método 2: Encontre

a (- 1)

b (- 1)

e some os dois resultados.

Primeiro, vamos encontrar

a (- 1)

$\begin{aligned} a (x) & = 3 x^{2} - 5 x + 2 \\ a (- 1) & = 3 (- 1)^{2} - 5 (- 1) + 2 \\ = 3 + 5 + 2 \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Agora, vamos encontrar

b (- 1)

$\begin{aligned} b (x) & = x^{2} + 8 x - 10 \\ b (- 1) & = (- 1)^{2} + 8 (- 1) - 10 \\ = 1 - 8 - 10 \\ = - 17 \end{aligned}$ ‍

Então, temos que:

$\begin{aligned} (a + b) (- 1) & = a (- 1) + b (- 1) \\ = 10 + (- 17) \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Como encontramos

(a + b) (x)

no último problema, o método 1 pode ser mais eficiente.

Subtração de duas funções

A subtração de duas funções funciona de forma semelhante. Temos aqui um exemplo:

Exemplo

p (t) = 2 t - 1

q (t) = - t^{2} - 4 t - 1

Vamos encontrar

(q - p) (t)

Solução

Novamente, a parte mais complicada aqui é entender a notação. Mas depois de ver o exemplo da adição,

(q - p) (t)

significa exatamente o que você pensa!

Por definição,

(q - p) (t) = q (t) - p (t)

. Agora podemos resolver o problema.

\begin{aligned} (q - p) (t) \\ = q (t) - p (t) Defina. \\ = (- t^{2} - 4 t - 1) - (2 t - 1) Substitua. \\ = - t^{2} - 4 t - 1 - 2 t + 1 Distribua o sinal negativo. \\ = - t^{2} - 6 t Combine os termos semelhantes. \end{aligned}

Então,

(q - p) (t) = - t^{2} - 6 t .

Vamos resolver alguns problemas.

Problema 3

j (n) = 3 n^{3} - n^{2} + 8

k (n) = - 8 n^{2} + 3 n - 5

Encontre $(j - k) (n)$ ‍.

Problema 4

g (x) = 4 x^{2} - 7 x + 2

h (x) = 2 x - 5

Calcule $(h - g) (3)$ ‍.

Há duas formas de encontrar

(h - g) (3)

Método 1: Encontre

h (3)

g (3)

e subtraia os dois resultados.

Primeiro, vamos encontrar

h (3)

$\begin{aligned} h (x) & = 2 x - 5 \\ h (3) & = 2 (3) - 5 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Agora, vamos encontrar

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = 4 x^{2} - 7 x + 2 \\ g (3) & = 4 (3)^{2} - 7 (3) + 2 \\ = 36 - 21 + 2 \\ = 17 \end{aligned}$ ‍

Então, temos:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = h (3) - g (3) \\ = 1 - 17 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Método 2: Encontre

(h - g) (x)

e calcule para

x = 3

$\begin{aligned} (h - g) (x) & = (2 x - 5) - (4 x^{2} - 7 x + 2) \\ = 2 x - 5 - 4 x^{2} + 7 x - 2 \\ = - 4 x^{2} + 9 x - 7 \end{aligned}$ ‍

Quando

x = 3

, temos:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = - 4 (3)^{2} + 9 (3) - 7 \\ = - 36 + 27 - 7 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Usando qualquer um dos métodos, vemos que

(h - g) (3) = - 16

Uma aplicação

Uma faculdade constata que o número de homens,

M

, e o número de mulheres,

W

, que se formaram

t

anos depois de 1980 podem ser modelados pelas funções

M (t) = 526 - t

W (t) = 474 + 2 t

, respectivamente.

Seja

N

o número total de alunos que se formaram naquela faculdade

t

anos depois de 1980.

Escreva uma expressão para $N (t)$ ‍.

N (t) =

Desafio

Os gráficos de

y = f (x)

y = g (x)

estão plotados na malha abaixo.

Qual é o gráfico de $y = (f + g) (x)$ ‍?

Vamos encontrar

(f + g) (x)

para um valor específico de

x

. Então, podemos usar esse valor para selecionar o gráfico correto. Vamos tentar

x = 4

\begin{aligned} (f + g) (4) & = f (4) + g (4) \\ = 4 + g (4) Como f (4) = 4 \\ = 4 + 0 Como g (4) = 0 \\ = 4 \end{aligned}

Então,

(f + g) (4) = 4

, o que implica que o gráfico de

y = (f + g) (x)

deve passar por

(4, 4)

. Como apenas o gráfico

A

passa por

(4, 4)

, ele deve ser o gráfico correto.

A explicação acima foi dada para

x = 4

, mas você poderia pensar dessa forma para qualquer valor de

x

. A tabela abaixo inclui informações sobre outros valores "legais" de

x

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$(f + g) (x)$ ‍
$- 8$ ‍	$- 8$ ‍	$0$ ‍	$- 8$ ‍
$- 6$ ‍	$- 6$ ‍	$1$ ‍	$- 5$ ‍
$- 4$ ‍	$- 4$ ‍	$0$ ‍	$- 4$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$- 3$ ‍
$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍
$2$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍
$4$ ‍	$4$ ‍	$0$ ‍	$4$ ‍
$6$ ‍	$6$ ‍	$- 1$ ‍	$5$ ‍
$8$ ‍	$8$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍