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Adição e subtração de funções

Veja como podemos somar ou subtrair duas funções para criar uma nova função.
Assim como podemos somar e subtrair números, podemos somar e subtrair funções. Por exemplo, se tivéssemos as funções f e g, poderíamos criar duas novas funções: f+g e fg.

Soma de duas funções

Exemplo

Vejamos um exemplo para ver como isso funciona.
Dado que f(x)=x+1 e g(x)=x22x+5, encontre (f+g)(x).

Solução

A parte mais difícil em combinar funções é entender a notação. O que (f+g)(x) significa?
Bem, (f+g)(x) significa simplesmente encontrar a soma de f(x) e g(x). Matematicamente, isso significa que (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Agora, isso se tornou um problema familiar.
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             Defina.=(x+1)+(x22x+5)        Substitua.=x+1+x22x+5                Remova os parênteses.=x2x+6                                Combine os termos semelhantes.

Também podemos ver isso graficamente:

As imagens abaixo mostram os gráficos de y=f(x), y=g(x), e y=(f+g)(x).
No primeiro gráfico, podemos ver que f(2)=3 e que g(2)=5. No segundo gráfico, podemos ver que (f+g)(2)=8.
Então, f(2)+g(2)=(f+g)(2) porque 3+5=8.
Agora é a sua vez de tentar. Convença-se de que f(1)+g(1)=(f+g)(1).
Calcule cada expressão.
f(1)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
g(1)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
(f+g)(1)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Vamos resolver alguns problemas.

Nos problemas 1 e 2, sejam a(x)=3x25x+2 e b(x)=x2+8x10.

Problema 1

Encontre (a+b)(x).

Problema 2

Calcule (a+b)(1).
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Subtração de duas funções

A subtração de duas funções funciona de forma semelhante. Temos aqui um exemplo:

Exemplo

p(t)=2t1 e q(t)=t24t1.
Vamos encontrar (qp)(t).

Solução

Novamente, a parte mais complicada aqui é entender a notação. Mas depois de ver o exemplo da adição, (qp)(t) significa exatamente o que você pensa!
Por definição, (qp)(t)=q(t)p(t). Agora podemos resolver o problema.
=(qp)(t)=q(t)p(t)Defina.=(t24t1)(2t1)Substitua.=t24t12t+1Distribua o sinal negativo.=t26tCombine os termos semelhantes.
Então, (qp)(t)=t26t.

Vamos resolver alguns problemas.

Problema 3

j(n)=3n3n2+8
k(n)=8n2+3n5
Encontre (jk)(n).

Problema 4

g(x)=4x27x+2
h(x)=2x5
Calcule (hg)(3).
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Uma aplicação

Uma faculdade constata que o número de homens, M, e o número de mulheres, W, que se formaram t anos depois de 1980 podem ser modelados pelas funções M(t)=526t e W(t)=474+2t, respectivamente.
Seja N o número total de alunos que se formaram naquela faculdade t anos depois de 1980.
Escreva uma expressão para N(t).
N(t)=

Desafio

Os gráficos de y=f(x) e y=g(x) estão plotados na malha abaixo.
Qual é o gráfico de y=(f+g)(x)?
Escolha 1 resposta:

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