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Conteúdo principal

Introdução à combinação de funções

Familiarize-se com a ideia de que podemos somar, subtrair, multiplicar ou dividir duas funções para criar uma nova função.
Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir funções.

A soma de duas funções

Parte 1: Criando uma nova função por meio da soma de duas funções

Vamos somar f(x)=x+1 e g(x)=2x para criar uma nova função.
f(x)+g(x)=(x+1)+(2x)=x+1+2x =3x+1
Vamos chamar essa nova função de h. Então, temos:
h(x)=f(x)+g(x)=3x+1

Parte 2: Calculando uma função combinada

Também podemos calcular funções combinadas para entradas específicas. Vamos calcular a função h acima para x=2. Abaixo, há duas formas de fazer isso.
Método 1: Substitua x=2 na função combinada h.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7
Método 2: Encontre f(2) e g(2) e some os resultados.
Como h(x)=f(x)+g(x), também podemos encontrar h(2) por meio da soma f(2)+g(2).
Primeiro, vamos encontrar f(2):
f(x)=x+1f(2)=2+1=3
Agora, vamos encontrar g(2):
g(x)=2xg(2)=22=4
Então, f(2)+g(2)=3+4=7.
Observe que substituir x=2 diretamente na função h e encontrar f(2)+g(2) nos dá a mesma resposta!

Agora, vamos tentar resolver alguns problemas.

Nos problemas 1 e 2, sejam f(x)=3x+2 e g(x)=x3.

Problema 1

Encontre f(x)+g(x).

Problema 2

Calcule f(1)+g(1).
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Uma conexão gráfica

Também podemos entender o que significa somar duas funções olhando para os seus gráficos.
Os gráficos de y=m(x) e y=n(x) são mostrados abaixo. No primeiro gráfico, observe que m(4)=2. No segundo gráfico, observe que n(4)=5.
Seja p(x)=m(x)+n(x). Agora, olhe para o gráfico de y=p(x). Observe que p(4)=2+5=7.
Desafie-se a ver que p(x)=m(x)+n(x) para todo valor de x olhando para os três gráficos.

Vamos praticar.

Problema 3

Os gráficos de y=f(x) e y=g(x) são mostrados abaixo.
Qual é a melhor aproximação para f(3)+g(3)?
Escolha 1 resposta:

Outras formas de combinar funções

Todos os exemplos que vimos até agora criam uma nova função por meio da soma de duas funções, mas você também pode subtrair, multiplicar e dividir duas funções para criar outras novas!
Por exemplo, se f(x)=x+3 e g(x)=x2, então podemos não apenas encontrar a soma, mas também...
... a diferença.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)       Substitua.=x+3x+2             Distribua o sinal negativo=5                                  Combine os termos semelhantes.
... o produto.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)            Substitua.=x22x+3x6        Distribua.=x2+x6                   Combine os termos semelhantes.
... o quociente.
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     Substitua.
Feito isso, acabamos de criar três novas funções!

Desafio

p(t)=t+2
q(t)=t1
r(t)=t
Calcule p(3)q(3)r(3)p(3).
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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