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Multiplicação e divisão de funções

Veja como podemos multiplicar ou dividir duas funções para criar uma nova função.
Assim como podemos multiplicar e dividir números, podemos multiplicar e dividir funções. Por exemplo, se tivéssemos as funções f e g, poderíamos criar duas novas funções: fg e fg .

Multiplicação de duas funções

Exemplo

Vejamos um exemplo para ver como isso funciona.
Dado que f(x)=2x3 e g(x)=x+1, encontre (fg)(x).

Solução

A parte mais difícil em combinar funções é entender a notação. O que (fg)(x) significa?
Bem, (fg)(x) significa simplesmente encontrar o produto de f(x) e g(x). Matematicamente, isso significa que (fg)(x)=f(x)g(x).
Agora, isso se tornou um problema familiar.
(fg)(x)=f(x)g(x)Defina.=(2x3)(x+1)Substitua.=2x2+2x3x3Distribua.=2x2x3Combine termos semelhantes.
Observação: simplificamos o resultado para obter uma expressão mais amigável, mas isso não é necessário.

Vamos resolver alguns problemas.

Problema 1
c(y)=3y4d(y)=32y
Encontre (cd)(y).

Problema 2
m(x)=x23xn(x)=x5
Calcule (mn)(1).
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Divisão de duas funções

A divisão de duas funções funciona de forma semelhante. Temos aqui um exemplo.

Exemplo

h(n)=2n1 e j(n)=n+3.
Vamos encontrar (jh)(n).

Solução

Por definição, (jh)(n)=j(n)h(n).
Agora, podemos resolver o problema.
(jh)(n)=j(n)h(n)Defina.=n+32n1Substitua. 
Duas importantes observações sobre essa função:
  1. Essa função está simplificada em sua forma atual.
  2. A entrada n=12 não é válida para essa função. Isso porque 2n1=0 em n=12, e a divisão por 0 é indefinida.

Vamos resolver alguns problemas

Problema 3
g(t)=t24h(t)=t+8
Encontre (gh)(t).

Problema 4
p(r)=5r2q(r)=r+2
Calcule (pq)(4).
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 5
f(x)=x+4g(x)=x3
Para qual valor de x (fg)(x) não é definido?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Uma aplicação

A distância e o tempo que Joana corre em cada dia depende do número de horas, h, que ela trabalha. A distância, D, em quilômetros, e o tempo T, em minutos, que ela corre são dados pelas funções D(h)=0,5h+8,5 e T(h)=6h+90, respectivamente.
A função S representa a velocidade média com a qual Joana corre em um dia no qual ela trabalha h horas.
Problema 6
Qual das seguintes opções define corretamente a função S?
Escolha 1 resposta:

Desafio
Os gráficos de y=f(x) e y=g(x) estão plotados na malha abaixo.
Qual é o gráfico de y=(fg)(x)?
Escolha 1 resposta:

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