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Comparação dos pontos máximos de funções do segundo grau

Dadas várias funções do segundo grau representadas de diversas formas, encontrar a função com o menor valor máximo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Essa questão pergunta qual função tem o maior valor máximo. Então vamos começar olhando para h(x). Essa função vai ser mais fácil porque ela já está desenhada, então é só olhar para o gráfico e procurar em qual ponto dessa curva aqui a função atinge o seu valor máximo. Se a gente for olhar, vai estar mais ou menos aqui e o valor máximo vai ser -1. Então aqui vamos marcar que o valor máximo da função h(x) vai ser -1. Já que nessa função aqui a gente tem uma tabela com os valores de x e os valores de y, no caso (vou até marcar aqui y, que são os valores de g(x)), então a gente tem que ver aqui qual vai ser o valor máximo em que isso vai chegar, então (opa, risquei aqui) a gente vai poder ver que o valor máximo em que essa função chega vai estar aqui no 5 quando x for zero. Então aqui no 5 a gente já pode marcar o valor máximo, que vai ser 5. Nessa função f(x) vai complicar um pouquinho mais. Eu vou escrever essa mesma função aqui no lado. Então vou escrever aqui, assim. f(x) vai ser igual a -x² mais 6x menos 1. Eu não gosto desse sinal negativo aqui na frente, então eu vou colocá-lo em evidência e deixar a função nesse formato aqui. Só multipliquei por -1 todos os termos, como normalmente a gente vê em uma questão. E agora a gente vai ter que fazer alguma mágica para transformar isso aqui num produto notável e vocês já vão entender o porquê. Então para fazer isso aqui nós vamos pegar esse valor aqui, que é -6, vamos pegar metade dele, que no caso é -3, vamos elevar ao quadrado e somar aqui. Então vai ficar assim: x² menos 6x... e agora aquele valor, que vai ser -3², vai ser mais 9, e aqui novamente mais 1, e pronto. Só que a gente adicionou um 9 aqui por causa dessa nossa mágica que a gente quer transformar em produto notável, só que tem um problema: a gente adicionou 9 e a função deixou de ser o que ela era, então a gente tem que fazer alguma coisa pra cancelar isso. A gente vai precisar subtrair 9 para voltar a ser como ela era. No caso, cancelaria aqui. E isso aqui, percebam, virou um produto notável em que a gente pode condensar esse termo e fazê-lo ficar dessa maneira aqui. -(x menos 3)². (x menos 3)² vai ser isso aqui tudo mais o que sobrou aqui, no caso menos, ou melhor, mais, por que está multiplicando por menos aqui e eu já vou multiplicar tudo de uma vez. Então mais 8. E como essa questão pede o maior valor máximo, a gente vai precisar pensar um pouquinho aqui: como que eu vou fazer para chegar no maior valor máximo dessa função? Bem, não importa qual o valor de x eu coloque aqui, esse x vai ser elevado ao quadrado e vai ter um sinal negativo na frente, então ele sempre vai subtrair desse valor 8, desse 8 positivo que tem aqui. Então isso aqui vai ser sempre 8 menos alguma coisa. Então o maior valor máximo dessa função vai acontecer quando esse termo aqui, que sempre vai diminuir 8, for zero. Então x menos 3 vai ser zero. Sendo assim, a gente cancela esse termo e o resultado vai ser 8. Então o valor máximo da função f(x) vai ser 8. Sendo assim, a função que tem o maior valor máximo é a função f(x). Espero ter ajudado!