Exemplo resolvido: domínio de funções algébricas

RKA - O que eu quero fazer nesse vídeo, é determinar o domínio de duas funções que eu vou dar para vocês. É o seguinte, a primeira vai ser: g(x) = 1 sobre √6 - | x | Caraca, essa é difícil, hein? Só que não. Olha só, perceba o que eu vou fazer aqui. Essa função g(x), ela está definida. Vou colocar aqui: está definida, quando? Ela está definida se, e somente se, esse valor dentro da raiz for um número maior que zero, porque se for um número menor que zero, eu vou ter uma raiz com um número negativo. Raiz quadrada de número negativo você sabe que não é um número real. E se eu tiver um número exatamente igual a zero, essa raiz de zero, vai dar zero. E eu teria uma divisão por zero. Um dividido por zero é uma indeterminação matemática. Então, dentro da raiz vai ter que ser um número maior do que zero. Logo, vou colocar aqui que 6 - | x | precisa ser maior do que zero, concorda comigo? Para resolver essa inequação agora, eu tenho que adicionar, em ambos os lados, o | x | para poder isolar o valor do | x |, para depois descobrir o valor de x. Então, somando | x |, em ambos os lados, eu vou ter o seguinte: Eu vou ter, desse lado esquerdo, apenas o 6 porque aqui vai simplificar. Eu vou ter que o 6 vai ter que ser maior que o | x |, certo? E o fato do 6 ser maior que o | x | me diz o seguinte. Diz que eu posso escrever isso daqui dessa forma: | x | < 6. E isso é a mesma coisa que dizer que, | x | sendo menor do que 6, vai ser verdade para quando o x estiver entre o - 6 e o 6. Sem nunca atingir o valor -6 e nem o 6 porque aqui eu tenho um sinal de menor, não menor ou igual. Então, o domínio dessa função vai ser o quê? Vai ser o valor do x, para quando x pertence aos números reais. Tal que o x vai estar entre o -6, são valores maiores do que -6, porém menores do que 6. Esse é o domínio dessa nossa primeira função. Portanto, você compreendeu nessa situação que o | x | é menor que 6, se e somente se, o x estiver entre -6 e o 6. Nesse caso, essa inequação vai ser verdadeira. Vamos fazer agora mais um exemplo, um pouquinho mais difícil. Vou colocar uma h(x), que vai ser igual a uma função definida por partes. Essa função vai ser igual a x + 10 sobre (x + 10) vezes (x - 9) vezes (x - 5). E isso vai acontecer sempre que o x for diferente de 5 (x ≠ 5), beleza? E eu quero que essa função aqui seja igual a Pi (π), sempre que o x for igual a 5. Está claro como eu defini a função? Beleza! Agora eu preciso descobrir qual é o meu problema na hora de determinar o domínio. Aqui, no numerador, não vou ter problema algum. Agora, no denominador, sim porque eu não posso ter divisões por zero. Logo aqui, você percebe que eu tenho (x - 5), então, se o x valer 5 aqui, eu teria 5 - 5 = 0. Teria uma divisão por zero, mas apenas teria porque o x tem que ser diferente de 5. Se o x for 5 já dá o valor daqui de baixo, vai dar o Pi (π) . Então, nesse caso aqui, eu não tenho essa restrição para essa parte do problema. Agora, para cá e para cá, eu tenho uma restrição. O x não pode ser nem o -10 e nem o 9 porque se o x for -10, eu teria -10 + 10 = 0. Então, teria uma divisão por 0 que não pode acontecer. E se o x for igual a 9, eu teria 9 - 9, uma divisão por 0, que não pode acontecer nesse caso aqui também. Logo, eu vou escrever aqui os problemas de quando ocorre uma divisão por zero. Vou colocar aqui: divisão por 0. A divisão por 0 vai acontecer, como eu acabei de falar, quando o x for igual a -10 e quando o x for igual a 9. Quando o x for -10, aqui dá zero. Quando for 9 aqui vai dar zero também. Quando x for igual a 5, aqui dá zero só que, como eu acabei de explicar, você sabe quando x é 5, eu não vou considerar essa função aqui. Vou considerar essa daqui. Vai ser igual a Pi (π). Logo, eu não vou ter esse valor aqui. Eu posso desconsiderá-lo. Portanto, você sabe que esse problema aqui da divisão por 0, só acontece nessa parte de cima. Vou colocar aqui. Parte de cima da definição. Só nessa parte aqui. Aqui o Pi (π) não tem problema algum. Pode ser qualquer valor. Na verdade, pode ser qualquer valor não porque o x aqui tem que ser igual a 5 para dar Pi (π). Está certo? Está claro? Então, beleza. Só que você vai perguntar pra mim assim: Aqui não poderia simplificar esse x + 10 com esse ( x + 10 )? Eu teria 1 sobre ( x - 9 )·vezes ( x - 5 )? Não, você não pode fazer isso porque você vai estar alterando a função. Eu não vou estar mais com essa mesma função, com essa mesma lei de formação. Você percebe que se eu fizesse essa simplificação aqui, a nova função estaria definida quando x fosse igual a -10. Porém, você percebe que isso seria uma função completamente diferente. Nesse caso, essa função considerada aqui, ela não está definida para quando x é igual a -10. Então, considerando tudo isso, agora eu posso escrever qual é o domínio dessa função. O domínio dessa função vai ser o seguinte. Vai ser todos os valores do x pertencente aos números reais. Pode ser qualquer valor. Só não pode ser, quais valores? Tal que o x precisa ser diferente de -10, e o x precisa ser diferente de 9. Mas você vai falar: Mas e o 5? O x pode ser. Aqui no caso, daria zero, só que como já expliquei várias vezes, quando x for igual a 5, eu não vou substituir nessa função. Vou substituir nessa. Ou seja, se eu calcular h(5) isso vai ter que ser igual a Pi (π), beleza? Então, não vou substituir nessa função de cima. Logo, meu domínio vai ser apenas isso daqui. Todos os números reais com a exceção do -10 e do 9. Tranquilo né? Até o próximo vídeo!