Domínio e contradomínio de funções do segundo grau

RKA - Determine o domínio e o contradomínio da função "f(x) = 3x² + 6x - 2". O domínio da função é o conjunto de todos os valores de "x" válidos para a função. Posso pegar qualquer número real, elevar ao quadrado, multiplicar por três e somar seis vezes esse número real e, depois, subtrair 2. Basicamente, a gente vai obter qualquer número real como resposta. O domínio, o conjunto de números que "x" pode assumir, o conjunto de números para os quais esta função é definida, é o conjunto dos números reais. O domínio são os números reais, e, para aqueles que podem pensar "bom, os números não são todos reais?", talvez não saibam que existe um tipo de número que é um pouco bizarro quando ouve falar deles a primeira vez chamados de "números imaginários" ou "números complexos". Mas não vou entrar nisso agora. Mas a maioria dos números que conhece fazem parte de um conjunto de números reais. Praticamente tudo, exceto números complexos. Você pega qualquer número real e coloca aqui. Dá para elevar ao quadrado, multiplicar por 3, e somar 6 vezes ele mesmo, e subtrair 2. O contradomínio, pelo menos como estamos considerando nessa série de vídeos, o contradomínio é o conjunto de possíveis resultados desta função. Ou, se dissesse "y = f(x)", no gráfico é um conjunto de todos os valores possíveis de "y". E, para pegar o gostinho, vou tentar mapear o gráfico dessa função. E, se você conhece as funções quadráticas, e essa função é uma função quadrática, talvez já saiba que ela tem um formato parabólico. Então, o formato pode ficar mais ou menos assim... na verdade, esse vai ficar assim... tem abertura para cima, mas outras parábolas têm formatos assim... e, quando uma parábola tem um formato assim, ela não vai incluir nenhum valor abaixo do seu vértice quando tem uma abertura para cima, não vai incluir nenhum valor sobre o seu vértice quando tem abertura para baixo. Então, vamos ver se conseguimos mapear isto e conseguir determinar seu vértice. Existem duas formas de calcular o vértice com exatidão, mas vejamos como podemos encarar esse problema. Vou tentar com alguns valores de "x" e de "y". Existem outras formas de computar o vértice. "-b/2a" é a fórmula disso, que vem diretamente da fórmula quadrática, que obtém completando o quadrado. Mas vamos tentar com alguns valores de "x" e ver o que é f(x). Então, vamos tentar! Bom, os valores que usamos nos últimos vídeos, o que acontece quando "x = -2"? E, se f(x) é 3 vezes -2² (que é 4) mais 6 vezes -2 (que é -12) menos 2, isso é "12 - 12 - 2", então, é igual a -2. O que acontece quando "x = -1"? Vai ser 3 vezes -1² (que é 1) menos.... quer dizer... mais 6 vezes -1 (que é -6) menos 2. É "3 - 6" é -3... menos 2 é igual a -5. E esse é o vértice. E você conhece a fórmula do vértice; de novo, é "-b/2a". "-b", esse é o coeficiente desse termo aqui, é -6... sobre 2 vezes esse aqui... 2 vezes 3... isso é igual a -1. Esse é o vértice, mas vamos continuar com isso aqui. O que acontece quando "x = 0"? Esses dois primeiros termos são zero, você fica com -2. Quando "x = +1", você pode ver que este é o vértice e começa a perceber a simetria. Se aumentar 1 sobre o vértice, "f(x) = -2". Se diminuir um valor de "x" abaixo do vértice ou abaixo do valor de "x" do vértice, "f(x) = -2" de novo. Mas vamos continuar. A gente poderia tentar... vamos fazer mais um ponto aqui... dá para tentar "x = 1". Quando "x = 1", tem 3 vezes 1², que é 1... 3 vezes 1 mais 6 vezes 1 (que é 6) menos 2; isso é "9 - 2", que é igual a 7. Acho que são pontos suficientes para dar o esqueleto de como vai ficar o gráfico, como ficaria o gráfico da função. Daí ficaria mais ou menos assim... vou tentar fazer meu melhor desenho. Esse "x = -2"... vou desenhar o eixo inteiro... é "x = -1". Isso é "x = 0". Isso é "x = 1", bem aqui; passamos de "-2" para o positivo, ou deveria passar de -5 para +7 (digamos que é -1, -2, -3, -4, -5). Isso é -5 ali no eixo "y". E, agora, vou passar para o +7... (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) e poderia continuar, isso está em "y". Vamos definir um "y" é igual a qualquer que seja o resultado da função "y = f(x)". Aqui é 1. Vamos mapear os pontos. Você tem o ponto (-2, -2). Quando "x" é -2... esse é o eixo "x"... quando "x" é -2, "y" é -2. Esse é o ponto (-2, -2); tudo bem. E tem esse ponto... tem essa cor rosa ou roxa... quando "x" é -1, "f(x)" é -5, e já sabemos que este é o vértice; que deve perceber a simetria daqui a pouco. Esse é o ponto (-1, -5), e tem o ponto (0, -2). Quando "x" é zero, "y" é -2, ou "f(x)" é -2 ou "f(0)" é -2. Esse é o ponto (0, -2). Finalmente, quando "x = 1", "f(1)" é 7; e este é o ponto (1, 7). Isso nos dá o esqueleto da parábola, como vai ficar essa curva. Eu vou tentar desenhar direito... ficaria mais ou menos assim e continuando nessa direção... (continuando nessa direção)... mas acho que já percebe a simetria no vértice porque, se colocasse uma reta aqui, os dois lados seriam como imagens espelhadas uma da outra. Pode virar. Assim que sabemos que é o vértice. E é assim porque esta é uma parábola com abertura para cima, existem fórmulas para vértices e existem várias formas de calculá-lo. Mas, como ela é uma parábola com abertura para cima, o vértice será o ponto mínimo. Este é o valor mínimo que a parábola pode ter. Voltando à pergunta original, isso tudo é para determinar o contradomínio, o conjunto de valores de "y", o conjunto de resultados que esta função pode gerar. Você vê que a função pode ir até -5 em "y". Ela desceu até -5 no vértice, mas, à medida que vai para a direita, à medida que os valores de "x" aumentam para a direita ou diminuem para a esquerda, a parábola vai para cima. A parábola nunca vai poder nos dar valores... f(x) nunca será menor que -5, mas ela pode ter todos os valores. Dá para continuar aumentando para sempre à medida que "x" vai ficando maior ou "x" vai ficando menor, menos distante do vértice. O contradomínio aqui, já dissemos que o domínio é de números reais, então, o contradomínio, os valores possíveis de "y", é de números reais maiores ou iguais a -5. Ele pode ter o valor de qualquer número real maior ou igual a -5. Nada menor que -5.