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O que é o domínio de uma função?

Funções atribuem saídas a entradas. O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função. Por exemplo, o domínio de f(x)=x² são todos os números reais, e o domínio de g(x)=1/x são todos os números reais, exceto x=0. Também podemos definir funções especiais cujos domínios são mais limitados.

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Transcrição de vídeo

RKA - Eu quero nesse vídeo falar um pouco mais sobre domínio. Então, antes de falar de domínio, vou falar um pouco de função. Se eu tiver uma função “f”, por exemplo, tenho uma função “f”, o quê significa ter essa função “f”? Significa que eu vou colocar valores aqui dentro dessa função, o "f" como se fosse uma caixa, por exemplo, transformadora. Eu coloco valores “x” aqui dentro dessa caixa e essa função vai gerar outros valores para mim, que serão a f(x), beleza? Então, agora para a gente dar um exemplo do que seria um domínio, analisar o domínio de uma função, vamos considerar a função f(x) = 2 sobre “x”. Nesse caso aqui, então eu tenho uma função “f” e se eu colocar um valor de x = 3, por exemplo, aqui dentro, o que eu vou ter? Eu vou ter a f(3). E, nesse caso, está definida tranquilamente. F(3), quando eu for trocar aqui embaixo, vai ficar igual a dois terços. Então, f(3) = dois terços. Um outro exemplo aqui seria se eu pegasse a função “f”, mesma função, e colocasse o Pi (π) como o valor do “x”. O que isso me iria retornar? Muito fácil, muito simples: 2 sobre π. É muito fácil determinar os valores dessa função. Agora vamos fazer uma coisa interessante aqui. Pegar essa função “f” também e tentar colocar ali, como valor do “x”, o zero. E agora? Qual o valor que essa função vai me retornar? Se eu colocar o 0 aqui embaixo do 2, 2 ÷ 0 é um valor indeterminado. Eu não tenho como saber quanto dá 2 sobre 0. Então, nesse zero aqui, se eu colocar um 0 na função, eu vou ter um simples sinal de interrogação porque eu não sei qual vai ser o valor aqui, beleza? Portanto, eu posso dizer aqui o domínio dessa função “f” é o conjunto de valores para o qual essa função aqui está definida. Então, vamos rever isso aqui para ficar mais simples de entender. O que vai ser o domínio de uma função? O domínio de uma função, o que vai ser isso então? O zero vai fazer parte do domínio? Vamos lá. Você vai dizer agora mesmo que o zero não faz parte porque a função está indefinida aqui. Então, o conjunto de valores para o qual a função está definida. Daqui eu vou escrever que é o conjunto de todos os valores do “x” para os quais a função “f” está definida. E agora, nesse caso específico dessa função, qual vai ser o domínio? Vamos escrever aqui o domínio dessa função específica. Vou colocar entre chaves porque é uma anotação matemática básica para você que quer representar na forma de teoria dos conjuntos. Eu vou dizer que são os valores do “x” que pertencem aos números reais, só que não pode ser todo e qualquer número real. Por exemplo, aqui eu não posso ter o zero. Esse “R” com um tracinho do lado, ele representa exatamente o conjunto dos números reais. Então, aqui são todos os valores do “x”, pertencentes aos reais, tal que o “x” tem que ser diferente de zero. Pois essa função aqui, ela está definida para todo e qualquer número real, com exceção, a única exceção é o zero porque aqui eu teria uma divisão por zero e você sabe que dividir por zero é um problema na matemática. Mas agora você repara o seguinte. Aqui eu não preciso ter “f” e “x”. Eu posso ter, por exemplo, uma outra função digamos g(y), em que eu tenho a raiz quadrada de y - 6, nesse caso. E é claro que vai mudar para todos os valores do “y” para os quais a função "g" está definida. Vai depender de quais letras estamos usando. Essa função agora vai ter qual domínio? Nesse caso aqui, nós temos a função "g" e nós estamos colocando lá dentro os valores de “y”, e essa função vai nos retornar valores g(y). Nesse caso aqui, nós estamos lidando com raiz quadrada, então aqui dentro para que essa função possa ficar definida bonitinha, aqui dentro eu não posso ter valores negativos. Então, eu tenho que ter valores não negativos. E, para isso, se eu tiver valores negativos aqui é claro que esse número não vai fazer parte do conjunto de números reais. Logo, aqui para definir o domínio dessa função, os valores do y - 6 precisam ser maiores ou iguais a zero. E nesse caso, quando eu adicionar 6 em ambos os lados, eu posso dizer que o “y” é maior ou igual a 6. E agora, será que já posso escrever o domínio? Posso aqui tranquilo. O domínio dessa função aqui, vai ser o quê? Vai ser todos os valores do “y”, que pertencem ao conjunto dos números reais, tal que o “y” vai ser maior ou igual a seis, beleza? Mas será que eu tenho apenas essas maneiras de escrever o domínio, de determinar qual é o domínio de uma função? Claro que não. Eu posso definir, por exemplo, uma função bem exótica. Deixe eu colocar uma função exótica. Vou colocar uma função h(x). E eu vou dizer que essa função h(x) vai ser igual a 1, se o meu “x” for igual a π, e essa função aqui vai ser igual a zero, se o meu “x” for igual a 3. E agora, qual será o domínio da função aqui? Eu te encorajo a pausar o vídeo, você tentar fazer, que agora eu vou te dar resposta, tranquilo? Vamos lá. Essa função está definida apenas para dois valores do “x”. Eu sei que se eu colocar o x = π, eu vou ter, como resultado da função, 1. E se eu colocar o valor do x = 3, eu vou ter 0. Então, por exemplo, aqui h(π) = 1 e h(3) = 0. Mas e se eu quiser saber o valor da h(4)? Isso aqui vai ser quanto? Não sei. Não está definida para o valor x= 4. E se eu quiser saber quanto é h(-1)? Também não sei. É um valor que está indefinido. Não defini esse valor dentro dessa função aqui. Qual vai ser o domínio dessa função? O domínio aqui vai ser o seguinte. Nesse caso, nossos únicos valores que o “x” pode assumir é o π e o 3. Eu vou ter 3 e π como o domínio da função, apenas, pura e simplesmente. Então, espero que esse vídeo tenha te dado um pouquinho de intuição sobre por que a gente precisa calcular esses domínios. Porque nem todas as funções estão definidas para todos os números reais, como você percebeu por esses exemplos. Pode ter função que esteja definida apenas para dois valores, ou apenas pelos números naturais ou inteiros ou racionais, enfim. Então que você tenha entendido esse vídeo, que é muito importante. Até o próximo vídeo!