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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 7

Lição 20: Cálculo de funções inversas (Álgebra nível 2)
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Funções
Cálculo de funções inversas (Álgebra nível 2)
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Como encontrar funções inversas

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Aprenda a encontrar a fórmula da função inversa de uma função dada. Por exemplo, encontre a inversa de f(x)=3x+2.
Funções inversas, no sentido geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se f leva a para b, então a inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, deve levar b para a.
Ou, em outras palavras, f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a.
Neste artigo, vamos aprender a encontrar a fórmula da função inversa quando temos a fórmula da função original.

Antes de começarmos...

Nesta lição, vamos encontrar a função inversa de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2.
Antes de fazer isso, vamos pensar sobre como poderíamos calcular f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Para encontrar f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, precisamos encontrar a entrada de f que corresponde a uma saída de 8. Isso porque, se f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, x, pela definição das inversas, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8.
f(x)=3x+28=3x+2Considere f(x)=86=3xSubtraia 2 dos dois lados2=xDivida os dois lados por 3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ 8 &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{Considere f(x)=8}}} \\\\6&=3x &&\small{\gray{\text{Subtraia 2 dos dois lados}}}\\\\ 2&=x &&\small{\gray{\text{Divida os dois lados por 3}}} \end{aligned}
Então, f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 8 o que significa que f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, 2

Como encontrar funções inversas

Podemos generalizar o que fizemos acima para encontrar f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis para qualquer y.
Para encontrar f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, podemos encontrar a entrada de f que corresponde a uma saída de y. Isso porque, se f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, x, então pela definição das inversas, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y.
f(x)=3x+2y=3x+2Considere f(x)=yy−2=3xSubtraia 2 dos dois ladosy−23=xDivida os dois lados por 3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ y &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{Considere f(x)=y}}} \\\\y-2&=3x &&\small{\gray{\text{Subtraia 2 dos dois lados}}}\\\\ \dfrac{y-2}{3}&=x &&\small{\gray{\text{Divida os dois lados por 3}}} \end{aligned}
Então, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, y, minus, 2, divided by, 3, end fraction.
Como a escolha da variável é arbitrária, podemos escrever isso como f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 2, divided by, 3, end fraction.

Teste seu conhecimento

1) Função linear

Encontre o inverso de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

2) Função cúbica

Encontre o inverso de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.
h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

3) Função de raiz cúbica

Encontre o inverso de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, dot, cube root of, x, end cube root.
f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

4) Funções racionais

Encontre o inverso de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

5) Desafio

Relacione cada função ao tipo de sua inversa.
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