Como encontrar funções inversas: irracionais

RKA - Temos aqui uma função "h(x)" definida por menos a raiz cúbica de "3x" menos 6, mais 12. O que queremos descobrir é qual é a função inversa de "h(x)", ou seja, o que é o "h⁻¹" de "x". Como sempre, pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. O que enfatizamos em vídeos anteriores, é que se uma função leva certos elementos do domínio para sua imagem, a função inversa tem que fazer justamente o caminho contrário, levar os elementos da imagem para os respectivos no domínio. Queremos, então, obter uma expressão que desfaz, entre aspas, o que esta expressão está fazendo. Organizando aqui, se dissermos que o "y" é igual ao "h(x)", ou seja, o "y" é igual a menos a raiz cúbica de "3x" menos 6, mais 12, isto nos dá "y", e lembremos que "y" é um elemento da nossa imagem, do conjunto imagem. O "y" é um elemento da imagem, que se relaciona com algum elemento do domínio, indicado aqui pelo "x". O que nós queremos fazer é justamente inverter o sentido das coisas. E nós poderemos aqui tentar resolver para "x", ou seja, isolar "x". Nós teremos então, uma certa expressão em termos de "y" que seja igual a "x", e seria justamente a expressão que definiria a função inversa de "h". Eu poderia também dizer para você trocar o "x" e o "y" de posição aqui, e depois resolver para obter "y", isolar "y", mas isso não é tão intuitivo. Então, vamos isolar o "x" aqui. Vamos começar isolando esta raiz cúbica, subtraindo 12 dos dois lados da igualdade. Vamos ficar com "y" menos 12, igual menos a raiz cúbica de "3x" menos 6, vou multiplicar os dois lados por -1 para tirar este sinal de menos da frente da raiz. E efetuando a multiplicação por -1, do lado esquerdo vamos ficar com 12 menos "y", e do lado direito, este sinal de menos antes da raiz vai ficar positivo. E agora, isto envolve uma manipulação algébrica. Vamos elevar ao cubo os dois lados da igualdade. Aqui do lado esquerdo temos 12 menos "y", tudo elevado ao cubo. Eu não vou desenvolver esta expressão, mas vou simplesmente usar o fato de que ela vai ser igual a "3x" menos 6, porque a raiz cúbica do lado direito elevado ao cubo, vai ser cancelada. E agora, mantendo a nossa intenção de isolar "x", vamos adicionar 6 aos dois lados da igualdade, e vamos ficar com 12 menos "y" ao cubo, mais 6, igual a "3x". Agora, basta dividir os dois lados por 3 e estamos prontos. Chegamos, então, a "x" igual 12 menos "y" ao cubo, mais 6, tudo isso dividido por 3. Ou seja, se temos um elemento "y" do nosso conjunto imagem, efetuando estes cálculos, vamos obter o "x" do domínio que havia sido relacionado com o dado "y" da imagem. Então chegamos a nossa função inversa, podemos escrever aqui "h⁻¹" de "y", igual 12 menos "y" elevado ao cubo, mais 6 sobre 3. E, como vimos em vídeos anteriores, o que temos aqui no "y" é a entrada da função, a variável independente. E essa variável independente pode ser representada por qualquer símbolo, por exemplo, por estrela, "h⁻¹" de estrela seria 12 menos estrela elevado ao cubo, mais 6, sobre 3. Ou, se em vez de estrela quisermos usar simplesmente o "x", que é o que nós estamos acostumados a fazer, e "x" é simplesmente o nome que estamos dando para variável independente, para a entrada que nós colocamos aqui na expressão que define a função, vamos ter "h⁻¹" de "x" igual a 12 menos "x" ao cubo, mais 6, sobre 3. Isto pode parecer um pouco confuso, porque o "x" ali parecia que seria um elemento do conjunto imagem, que se relaciona com alguém do domínio, mas agora quando eu fiz esta troca, o "x" é de fato um elemento do domínio, mas para esta nova função chamada "h⁻¹". Lembre-se de que uma função precisa ser definida pelo seu domínio e pelo seu contradomínio, não só pela expressão. E a variável independente pode ser chamada de qualquer forma, por exemplo, o "x" ou qualquer outra letra, ou qualquer outro símbolo. Mas, enfim, temos aqui a definição da função inversa do "h(x)" que "desfaz" o que a função "h(x)" faria. Até o próximo vídeo.