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Como encontrar funções inversas: funções do segundo grau

Neste vídeo, calculamos a inversa de f(x)=(x+2)^2+1. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - A função "f(x) = (x + 2)² + 1", e restringimos nosso domínio: "x" tem que ser maior ou igual a "-2"; foi, aí, que definimos nossa função. E queremos encontrar seu inverso. Pensem por que tivemos que restringir para "x" ser maior ou igual a -"2", por que não conseguiríamos encontrar o inverso se tivéssemos deixado como uma parábola completa? Depois faço um vídeo sobre isso, mas antes vamos achar o inverso aqui. Como disse no primeiro vídeo, na introdução aos inversos, estamos tentando calcular valores. Se a gente dissesse que "y = (x + 2)² + 1", esta é a função; você me dá um "x" e conseguimos calcular um "y". Queremos fazer o contrário, queremos lhe dar um "y" e calcular um "x". O que fazemos é encontrar o valor de "x" em relação a "y". Vamos fazer uma coisa de cada vez. Primeiro, podemos subtrair 1 dos dois lados da equação. "y - 1" é igual a "(x + 2)²". Tem que calcular a raiz quadrada; seria o correto a fazer, mas é importante pensar se queremos calcular a raiz quadrada positiva ou negativa. Restringimos nosso domínio para "x" é maior ou igual a "-2", Então, esse valor "x + 2"... se "x" é sempre maior ou igual a "-2", "x + 2" sempre vai ser maior ou igual a "0". Então, essa expressão aqui é positiva, tem um quadrado positivo. Daí, se quiser colocar o "x + 2" no domínio apropriado, tem que calcular a raiz quadrada positiva. Num vídeo futuro, eu vou mostrar um exemplo de raiz quadrada negativa. Vamos calcular a raiz quadrada principal, que é o sinal da raiz quadrada dos dois lados; ficamos com: raiz quadrada de "y - 1" é igual a "x + 2". E eu devia ter lembrado que tem uma restrição em "x", que é quando "x" for maior ou igual a "-2". Mas qual restrição a gente poderia ter em "y"? Olhando no gráfico, "x" é maior ou igual a "-2"; mas e o "y"? Qual é a imagem de valores em "y" que podemos ter? Olhando o gráfico, "y" sempre será maior ou igual a 1, e isso vem do fato de que esse termo sempre será maior ou igual a zero. O valor mínimo que a função pode ter é 1; dá para dizer quando "x" for maior ou igual a "-2". E podemos adicionar que "y" sempre vai ser maior ou igual a 1. "y" é sempre maior ou igual a 1, a função é sempre maior ou igual a 1, e quero esse momento porque mais tarde vamos trocar os "x" e "y". Vamos deixar isso aí. Ainda não encontramos os valores de "x" e "y", mas podemos escrever. Quando "y" for maior ou igual a 1, esse vai ser o domínio do nosso inverso. Aqui, podemos manter quando "y" for maior ou igual a 1. A restrição em "y" vai importar mais porque o domínio é "x", mas para o inverso, o domínio vai ser o valor em "y". Tem a raiz de "y - 1" é igual a "x + 2". Agora, podemos subtrair 2 dos dois lados. A raiz quadrada de "y - 1" menos 2 é igual a "x" quando "y" for maior ou igual a 1. Encontramos o valor de "x" em relação a "y", ou podemos dizer que... (estou trocando)... "x" é igual a raiz quadrada de "y - 1" menos 2, quando "y" for maior ou igual a 1. Agora, o "y" é o dado da função que vai ser o inverso da função "x". Agora, "x" é a imagem. Podemos reescrever como "f ⁻¹(y)", é isso que "x" é, igual à raiz quadrada de "y - 1" menos 2, quando "y" for maior ou igual a 1. Esta é a função inversa, esta poderia ser a resposta, mas geralmente se pede a resposta em termos de "x". Dá para pôr qualquer coisa aqui; se por um "a", ficamos com "f ⁻¹(a)" e seria a raiz quadrada de "a - 1" menos 2, desde que "a" fosse maior ou igual a 1. Mas pode pôr um "x" aqui e dá para renomear o "y" para "x". Vamos renomear, vamos trocar "y" por "x"... (vou abrir mais espaço)... ficaremos com "f ⁻¹(x)". Vou realçar para mostrar que eu estou trocando "y" por "x"; poderíamos trocar por qualquer coisa... é igual à raiz quadrada de "x - 1", menos 2 quando... (também tem que renomear aqui)... quando "x" for maior ou igual a 1. Agora, tem nossa função inversa como função de "x". Vamos tentar representá-la no gráfico. O mais fácil vai ser desenhar pontos aqui. O menor valor de "x" é 1. Se puser um 1 aqui, terá um "0" aqui. O ponto (1, -2) está no nosso gráfico inverso; (1, -2) fica bem aqui. E, se for para o 2, "2 - 1" dá 1, a raiz principal é 1, menos 2 dá "-1". O ponto (2, -1) está bem aqui. Vamos pensar. Se for para o 5... (estou buscando raízes perfeitas)... "5 - 1" dá 4, menos 2... o ponto (5, 2)... ah, "5 - 1" dá 4, a raiz quadrada é "2 - 2", dá "0". O ponto (5, 0) é aqui. O gráfico inverso está definido para "x" é maior ou igual a "-1". O gráfico inverso vai ficar assim (mais ou menos assim). Comecei bem, depois ficou terrível; vai ficar mais ou menos assim. E, como a gente viu na introdução às funções inversas, essas são imagens refletidas em torno da reta "y = x". Vou marcar "y = x" ("y" é igual a "x", é essa reta aqui). Reparem que são reflexos em torno dessa reta. Aqui, calculamos o valor "0" para 5. Se "x" é "0", temos "y = 5". Aqui, fazemos ao contrário, calculamos 5 para o valor "0", por isso são reflexos; trocamos o "x" e o "y". Fui.