Introdução à composição de funções

RKA-MP - Você tem aqui três definições de funções. A função chamada de "f", definida por f(x) = x² - 1. A função "g", g(t), definida a partir dos valores de "t" nesta tabela de g(t), g(3) vale 4. E a função h(x) definida aqui pelo gráfico. Por exemplo h(2) vale 1, h(1) vale 2. A ideia desse vídeo apresentar a você o conceito da composição de funções. Mas o que significa compor funções? Compor funções é obter uma nova função a partir de outras funções que se relacionam de alguma maneira. Por exemplo, vamos pensar agora no que seria "f" não de "x". Vamos pensar no que seria "f" de "g(2)". f(g(2)), o que será isso? Eu sugiro que você pause o vídeo, pense um pouco e depois retome. Embora esta notação possa parecer um pouco assustadora, basta que você se lembre do que é uma função. Uma função é o mapeamento de valores de um conjunto para obter respostas válidas em outro conjunto. Quando estamos falando g(2), estamos introduzindo 2 na função "g" para obter uma certa resposta que vamos chamar de g(2). Neste caso, obtendo a resposta g(2), nós teremos a introdução dessa resposta na função "f". O que foi resposta aqui, vai ser entrada na função "f". Então, o resultado do g(2) vai ser introduzido na função "f". O que teremos como sair aqui é justamente o "f" aplicado ao resultado que temos aqui, que é o g(2). Em outras palavras, teremos aqui simplesmente o f(g(2)). f(g(2)). Vamos, então, agora fazer, passo a passo, tudo que é necessário para obter o f(g(2)). Primeiro vamos começar sabendo o que é o g(2). Vamos olhar na tabela. Quando "t" é 2, o g(2) é o número 3 negativo. Então g(2) vai ser substituído aqui pelo número -3. Quando falamos g(2), falamos -3, que é agora entrada na função "f". Na função "f", introduzindo o -3, nós teríamos aqui f(-3) = (-3)², que é 9. E 9 - 1 = 8. Então, f(-3), que temos aqui, é igual a 8. Resumindo, f(g(2)) = 8. Vamos analisar, seguindo esse raciocínio, uma outra composição de funções. Vamos agora analisar "f" de h(2). f(h(2)). Em vez de fazer o diagrama acima, vamos tentar usar diretamente a linguagem algébrica que temos aqui e nas definições das funções. f(h(2)). Quando temos f(x), temos x² - 1. Qualquer coisa que eu substitua no lugar do "x", teremos que elevar ao quadrado e subtrair 1. Então, f(h(2)) significa tomar o h(2) elevado ao quadrado e tirar 1. Muito bem, mas para poder fazer essa conta, eu preciso saber o que é o h(2). E eu vou, então, olhar na definição e ver que h(2) vale 1, ou seja, no lugar do h(2), eu tenho o número 1, de modo que 1² = 1, menos 1 dá zero. Ou seja, f(h(2)) = 0 Nós poderíamos fazer de maneira análoga ao diagrama cima. 2 vai ser introduzido, vai ser a entrada na função "h". Quando 2 é introduzido na função "h", nós vamos ter como saída, pelo que temos aqui no gráfico, quando "x" é 2, o "h" vale 1, então nós vamos ter a saída aqui 1. Esse 1 nada mais é do que o h(2). Isto agora é a entrada na função "f". O 1 como entrada na função "f", vai dar como saída, basta voltar aqui na definição, 1² - 1 = 0, como acabamos de fazer. Então, vai nos dar a saída o zero. Esse zero, então, é o f(h(2)). Vamos agora compor funções usando três funções. Vamos obter aqui "h" do "g" de f(2). Muito bem. O que é h(g(f(2)))? Bem, vamos primeiro obter o f(2). Para obter f(2), eu volto ao f(x), tem que fazer 2² = 4, -1 = 3. Então, o f(2) é, na verdade, 3. Então, aqui eu tenho h(g(3)). Ora, voltando na função "g", g(3) me resulta 4. g(3) = 4. Então, todo este pedaço que você vê aqui vale 4. Em resumo, tudo isto é o h(4). h(4), pelo gráfico, vale -1. Se o h(4) vale -1, então, aqui nós temos finalmente que o h(g(f(2)) vale -1. Eu espero que essas ideias tenham ajudado você a se familiarizar com o conceito de composição de funções. Estude. Pratique. Até o próximo vídeo.