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Exemplo resolvido: taxa de variação média a partir de uma tabela

Como encontrar a taxa de variação média de uma função no intervalo -5<x<-2, dada uma tabela de valores da função. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar piceratops ultimate style do usuário Luiza Spínola
    Qual a diferença entre o coeficiente angular Δy/Δx e esse conceito de variação média de y(x) em relação a x que também é representado por Δy/Δx?
    Posso dizer que, se a função for linear, o coeficiente angular da reta é equivalente à variação média de y(x) em relação a x?
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    • Avatar leaf blue style do usuário Luiz Portella
      Pode! A definição de coeficiente angular de uma reta é justamente a inclinação desse reta, em outras palavras, sua derivada. No caso de uma reta a derivada é um valor constante, já que sua inclinação é constante! A taxa de variação média não é tão importante quanto a derivada, que estudará no ensino superior...
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Medicosmic
    Há alguns exercícios da Khan que pedem a taxa de variação média com base na tabela, porém não mostram o y(x) para o valor de x cobrado naquele intervalo. Existe uma maneira de calcular esse valor sem uma representação gráfica ou uma tabela, haja vista que a função varia de maneira inconstante?
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    • Avatar aqualine sapling style do usuário yk
      Se eu entendi bem a pergunta.. Para você calcular um ponto ou um determinado valor de x em uma reta inconstante você pode usar uma aproximação com uma reta secante igual nesse vídeo, ou usar a derivada da função para encontrar a taxa de variação instantânea em um ponto específico, ou outros métodos que existem, resumindo é um tópico mais avançado. Você não pode usar, por exemplo, o método de equação da reta( y = mx + b) que você consegue calcular qualquer valor de x depois de descobrir a interceptação em y e o coeficiente angular igual numa função linear, em uma função não linear, você não consegue fazer isso e terá que usar um dos métodos que falei acima
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  • Avatar piceratops seedling style do usuário Gustavo Alves
    É impressão minha ou é o Goku que ta explicando a matéria ? XD
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  • Avatar starky ultimate style do usuário Gabriel Rodrigo de Oliveira
    Nesse exemplo como ele pede a taxa de variação media para X maior do que -5 e para X menor do que -2, o correto não seria eu pegar o valor maior que -5 por ex; -4 (pois tenho informações sobre essa coordenada) e menor do que -2, por exs: -3 (pois também tenho informações sobre essa coordenada) ? Porque nesse caso me parece satisfazer o que ele pede, que e a taxa de variação para -5 < x <-2. Pois dessa forma como foi resolvido, me parece a principio que estamos achando a variação para X=5 e X=2.
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    • Avatar leafers sapling style do usuário gustavopch
      A princípio eu também pensei isso. Mas se a gente pegar só de -4 a -3, vamos estar deixando de fora do cálculo números como:
      • -4.999999..., -4.8, -4.7 (estes perto do -5);
      • e números como -2.9, -2.8, -2.00000...1 (estes do lado do -2).
      Não podemos deixar esses números de fora né, pq eles estão incluídos no intervalo -5 < x < -2.

      Aí você pode pensar que o certo então seria fazer a conta excluindo o -5 e o -2, mas incluindo o primeiro número próximo do -5 (que é o -4.999999...) até o primeiro número próximo do -2 (que é o -2.00000...1). Bom... não sei kk. Mas provavelmente quando a gente chegar num nível avançado da matemática vamos entender isso melhor.
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Transcrição de vídeo

RKA - Qual é a taxa de variação média de "y(x)" sobre o intervalo "-5 < x < -2"? "x = -5". Quando "x = -5", "y(x) = 6". Quando "x = -2", "y(x) = 0". Para achar a taxa de variação média, a taxa de variação média de "y(x)" em relação à "x"... (deixa eu caprichar mais)... isso vai ser a variação em "y(x)" sobre esse intervalo, sobre a variação de "x" do intervalo. E o símbolo de variação é esse triângulo (delta): "Δy", ou a variação em "y" sobre a variação em "y". Esta vai ser a taxa de variação média sobre esse intervalo. Quanto "y" mudou nesse intervalo? "y" foi de 6 para "0". Digamos que este seja o nosso ponto final. Este é o ponto final e este é o ponto inicial. Se tivéssemos feito ao contrário, também daria certo, mas, como esse está mais alto, vamos chamar de ponto inicial e esse de ponto final. Começamos em 6 e terminamos em "0". A variação em "y" vai ser "-6". Descemos "6" na direção "y" e dá para falar "0 - 6". E a variação em "x"? A gente foi de "-5" para "-2". Aumenta em 3. Quando aumentamos "x" em 3, e diminuímos "y(x)" em 6... ou, para simplificar, "-6/3" dá "-2". A taxa de variação média de "y(x)" sobre o intervalo de "-5" para "-2" é "-2". Na média, sempre que "x" aumentou em 1, "y" diminuiu 2.