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Exemplo resolvido: taxa de variação média a partir de uma equação

Como encontrar o intervalo no qual uma função tem uma taxa de variação média igual a ½, dada sua equação. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - "y" é igual a "1/8" de "x³" menos "x²". Sobre qual intervalo a função "y(x)" tem a taxa média de variação de "1/2"? Vamos calcular a taxa média de variação de cada intervalo. Vamos começar por esse intervalo: "x" está entre "-2" e "2". "-2" é menor que "x", que é menor que "2". Qual é o valor da nossa função quando "x" é igual a "-2"? "y(-2)" é igual a "1/8" vezes "(-2)³ " menos "(-2)²", que é igual a... vejamos, "(-2)³" é "-8". "-8" dividido "8" dá "-1", "(-2)²" dá "4", mas teremos que subtrair; então, é "-4". Isso é igual a "-5". "y(2)" é igual a "1/8" vezes "2³" menos "2²". E isso vai ser igual a "1/8" vezes "8" dá "1", menos "4", que é igual a "-3". Para achar a taxa média de variação devemos descobrir quanto o valor da sua função varia e dividir isso por quanto o seu "x" variou. Vamos fazer uma tabelinha aqui: "x" e "y". Quando "x" é "-2", "y" é "-5". Quando "x" é "2", "y" é "-3". Quanto foi que o "y" variou? O "y" aumentou em 2. E o "x" aumentou em 4. Dá para perceber, só olhando aqui: o "y" aumentou desse ponto para esse; e o "x" aumentou desse ponto para esse. Ou pode dizer "-3" menos "-5" dá 2; é a diferença entre "-3" e "-5". Se dissesse 2 menos "-4", isso te dá a diferença: 4. Mas, aqui, fica claro. Quando "y" aumenta em "2", ou melhor, quando "x" aumenta em 4, o "y" aumenta em 2. A taxa média de variação nesse intervalo vai ser... taxa média de variação de "y" em relação à "x" vai ser igual a... quando "x" aumentou em 4, "y" aumentou em 2. Então, é igual a "1/2". Parece que a taxa média de variação nesse intervalo é mesmo "1/2". Demos sorte nessa situação, é uma questão de múltipla escolha; não tem mais de uma resposta. E nossa primeira opção estava certa. Mas eu vou fazer mais uma para mostrar porque elas estão erradas. Vamos achar a taxa média de variação entre este ponto e esse ponto (eu vou fazer de outra cor, vou usar o roxo) "0" é menor que "x", que é menor que 4 (vou desenhar a tabela aqui). "x" e "y". Quando "x" é "0", qual é o valor de "y"? Vai ser "1/8" vezes "0" menos "0". Então, "y" vai ser igual a "0". Quando "x" é 4, qual o valor de "y"? "y" será "1/8" (eu vou tentar fazer de cabeça)... "1/8" vezes "4³" é "64". "1/8" de 64 é 8. Vai dar 8 menos "4²", que dá "16". Oito menos 16 dá "-8"; então, aqui quando "x" aumenta em "4", o que acontece com o "y"? O "y" diminuiu em 8. A taxa média de variação de "y" em relação ao "x", aqui... posso escrever que a variação em "y" (a letra grega delta é o sinal de variação) a variação em "y" é "-8" quando a variação em "x" é 4. A taxa média de variação é "-2"; é negativo porque, conforme o "x" cresceu, o "y" decresceu. Em média, para cada ponto que o "x" cresceu, o "y" decresceu em 2, por isso esse "2 negativo", aqui. A taxa média de variação não é "1/2". Isso confirma que não é a resposta. Também sabemos que essas outras duas vão te dar uma taxa média de variação diferente de "1/2". Pode tentar se quiser, mas não vai dar.