Simetria de modelos algébricos

Neste artigo, vamos aprender a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.

Mas, primeiro, vamos refrescar a memória sobre a simetria de funções.

Agora, vamos ver um exemplo.

A energia $E(x)$‍ armazenada em uma mola em joules é uma função do deslocamento da mola, $x$‍, em metros, a partir do seu estado relaxado, sendo que um $x$‍ positivo indica uma mola esticada e um $x$‍ negativo indica uma mola comprimida. O gráfico de $y=E(x)$‍ é mostrado abaixo.

O que podemos aprender sobre o contexto a partir da simetria de seu gráfico?

Vamos aplicar à função $E$‍ o que sabemos sobre simetria.

Se você refletir o gráfico da função $E$‍ sobre o eixo $y$‍, ele cairá sobre si mesmo.

Portanto, $E$‍ é uma função par. Algebricamente, isso significa que $E(-x)=E(x)$‍ para todos os valores de $x$‍.

O que significa “$E(-x)=E(x)$‍ para todos os valores de $x$‍”?

Como a afirmação é verdadeira para todos os valores de $x$‍, podemos dizer que $E(-x)=E(x)$‍ é verdadeiro quando $x=2$‍, $x=4$‍, $x=10$‍ etc. Vamos começar pensando no que a afirmação significa para um valor específico de $x$‍, nesse caso, quando $x=2$‍.

Quando $x=2$‍, essa afirmação se torna $E(-2)=E(2)$‍.

Concentrar-se no que cada variável representa pode ajudar com essa interpretação. Lembre-se de que uma entrada positiva indica que a mola está esticada e uma entrada negativa indica que a mola está comprimida, e que a saída representa a energia armazenada na mola.

Sob essa perspectiva, vemos que $E(-2)=E(2)$‍ significa que uma $\text{mola comprimida }2\text{ metros}$‍ contém a mesma quantidade de$\text{ energia}$‍ que $\text{a mesma mola esticada }2\text{ metros}$‍.

Agora estamos prontos para interpretar a afirmação mais geral, $E(-x)=E(x)$‍, que é nosso objetivo final.

Usando os exemplos acima como orientação, vemos que $E(-x)=E(x)$‍ significa que uma mola comprimida $x$‍ metros contém a mesma quantidade de energia que uma mola esticada $x$‍ metros.

Em outras palavras: uma mola com certa compressão armazena a mesma quantidade de energia que uma mola esticada em igual medida.

Vamos tentar outro exemplo.

Perseu normalmente usa $20$‍ quilos de madeira por dia em sua lareira para manter a temperatura da sua casa em $25$‍ graus Celsius. Ele tenta ajustar a quantidade de madeira, $w$‍, que ele queima, para ver como a temperatura varia. Especificamente, um $w$‍ positivo indica uma adição de $w$‍ quilos de madeira e um $w$‍ negativo indica uma redução de $w$‍ quilos de madeira. O gráfico de $y=T(w)$‍ é mostrado abaixo, com $T(w)$‍ indicando a variação na temperatura da casa de Perseu.

O gráfico da função $T$‍ é simétrico em relação à origem.

Então, a função $T$‍ é uma função ímpar. Algebricamente, isso significa que $T(-w)=-T(w)$‍ para todos os valores de $w$‍.

Para interpretar a simetria nessa situação, queremos traduzir a afirmação matemática "$T(-w)=-T(w)$‍ para qualquer valor de $w$‍” em função do contexto.

Novamente, vamos começar pensando no significado disso para um valor específico de $w$‍. Então, podemos voltar e generalizar.

Para ficar mais fácil, lembre-se de que uma entrada positiva indica um acréscimo de madeira, que uma entrada negativa indica uma redução de madeira, e que a saída da função indica a mudança de temperatura.

Então, vemos que $T(-1)=-T(1)$‍ significa que a $\text{variação de temperatura}$‍ resultante da queima de $1\text{ quilo a menos de madeira}$‍ é oposta àquela resultante da queima de $1\text{ quilo a mais de madeira}$‍.

Agora, estamos prontos para generalizar e interpretar a afirmação sobre simetria para um $w$‍ geral.

Em outras palavras: aumentar ou diminuir uma certa quantidade de madeira queimada tem efeitos exatamente opostos sobre a temperatura da casa.

Em geral, para interpretar o significado da simetria do gráfico de uma função, é importante:

Etapa $1$‍: decidir se a função é par ou ímpar e determinar o que isso significa algebricamente.

Etapa $2$‍: entender o que cada variável representa em função do contexto.

Etapa $3$‍: elaborar uma afirmação que use o significado das variáveis e comparar os valores de saída de valores de entrada opostos.

Tina está aprendendo a dirigir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão giratório. A velocidade do veículo, $V(x)$‍, em quilômetros por hora, é uma função da posição do botão, $x$‍. Observe que $x>0$‍ significa que o botão foi girado $x$‍ unidades no sentido horário, e que $x<0$‍ significa que o botão foi girado $x$‍ unidades no sentido anti-horário.

O gráfico de $y=V(x)$‍ é mostrado abaixo.