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Simetria de modelos algébricos

Aprenda a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.

Introdução

Neste artigo, vamos aprender a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.
Mas, primeiro, vamos refrescar a memória sobre a simetria de funções.

Simetria de funções

Complete as sentenças sobre funções pares e ímpares.
Quando uma função f tem um gráfico simétrico em relação ao eixo y, dizemos que f é
. Algebricamente, isso significa que f(x)=
para qualquer valor x de entrada.
Quando uma função f tem um gráfico simétrico em relação à origem, dizemos que f é
. Algebricamente, isso significa que f(x)=
para qualquer valor x de entrada.
É
ter uma função que não é par nem ímpar.

Agora, vamos ver um exemplo.

Exemplo 1

A energia E(x) armazenada em uma mola em joules é uma função do deslocamento da mola, x, em metros, a partir do seu estado relaxado, sendo que um x positivo indica uma mola esticada e um x negativo indica uma mola comprimida. O gráfico de y=E(x) é mostrado abaixo.
O que podemos aprender sobre o contexto a partir da simetria de seu gráfico?

A simetria da função E

Vamos aplicar à função E o que sabemos sobre simetria.
Se você refletir o gráfico da função E sobre o eixo y, ele cairá sobre si mesmo.
Portanto, E é uma função par. Algebricamente, isso significa que E(x)=E(x) para todos os valores de x.

Interpretação de características simétricas

O que significa “E(x)=E(x) para todos os valores de x”?
Como a afirmação é verdadeira para todos os valores de x, podemos dizer que E(x)=E(x) é verdadeiro quando x=2, x=4, x=10 etc. Vamos começar pensando no que a afirmação significa para um valor específico de x, nesse caso, quando x=2.
Quando x=2, essa afirmação se torna E(2)=E(2).
Concentrar-se no que cada variável representa pode ajudar com essa interpretação. Lembre-se de que uma entrada positiva indica que a mola está esticada e uma entrada negativa indica que a mola está comprimida, e que a saída representa a energia armazenada na mola.
Sob essa perspectiva, vemos que E(2)=E(2) significa que uma mola comprimida 2 metros contém a mesma quantidade de energia que a mesma mola esticada 2 metros.
O que E(4)=E(4) significa neste contexto?
Escolha 1 resposta:

Agora estamos prontos para interpretar a afirmação mais geral, E(x)=E(x), que é nosso objetivo final.
Usando os exemplos acima como orientação, vemos que E(x)=E(x) significa que uma mola comprimida x metros contém a mesma quantidade de energia que uma mola esticada x metros.
Em outras palavras: uma mola com certa compressão armazena a mesma quantidade de energia que uma mola esticada em igual medida.

Pergunta para reflexão

Uma afirmação que interpreta a simetria de uma função par faz qual das seguintes opções?
Escolha 1 resposta:

Vamos tentar outro exemplo.

Exemplo 2

Perseu normalmente usa 20 quilos de madeira por dia em sua lareira para manter a temperatura da sua casa em 25 graus Celsius. Ele tenta ajustar a quantidade de madeira, w, que ele queima, para ver como a temperatura varia. Especificamente, um w positivo indica uma adição de w quilos de madeira e um w negativo indica uma redução de w quilos de madeira. O gráfico de y=T(w) é mostrado abaixo, com T(w) indicando a variação na temperatura da casa de Perseu.

A simetria da função T

O gráfico da função T é simétrico em relação à origem.
Então, a função T é uma função ímpar. Algebricamente, isso significa que T(w)=T(w) para todos os valores de w.

Interpretação de características simétricas

Para interpretar a simetria nessa situação, queremos traduzir a afirmação matemática "T(w)=T(w) para qualquer valor de w” em função do contexto.
Novamente, vamos começar pensando no significado disso para um valor específico de w. Então, podemos voltar e generalizar.
Para ficar mais fácil, lembre-se de que uma entrada positiva indica um acréscimo de madeira, que uma entrada negativa indica uma redução de madeira, e que a saída da função indica a mudança de temperatura.
Então, vemos que T(1)=T(1) significa que a variação de temperatura resultante da queima de 1 quilo a menos de madeira é oposta àquela resultante da queima de 1 quilo a mais de madeira.
Agora, estamos prontos para generalizar e interpretar a afirmação sobre simetria para um w geral.
O que T(w)=T(w) significa neste contexto?
Escolha 1 resposta:

Em outras palavras: aumentar ou diminuir uma certa quantidade de madeira queimada tem efeitos exatamente opostos sobre a temperatura da casa.

Pergunta para reflexão

Uma afirmação que interpreta a simetria de uma função ímpar faz qual das seguintes opções?
Escolha 1 resposta:

Tirando uma conclusão

Em geral, para interpretar o significado da simetria do gráfico de uma função, é importante:
Etapa 1: decidir se a função é par ou ímpar e determinar o que isso significa algebricamente.
Etapa 2: entender o que cada variável representa em função do contexto.
Etapa 3: elaborar uma afirmação que use o significado das variáveis e comparar os valores de saída de valores de entrada opostos.

Agora é sua vez

Tina está aprendendo a dirigir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão giratório. A velocidade do veículo, V(x), em quilômetros por hora, é uma função da posição do botão, x. Observe que x>0 significa que o botão foi girado x unidades no sentido horário, e que x<0 significa que o botão foi girado x unidades no sentido anti-horário.
O gráfico de y=V(x) é mostrado abaixo.
Essa função é par. Qual das afirmações a seguir interpreta melhor a simetria do gráfico da função V?
Escolha 1 resposta:

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