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Exemplo trabalhado: ponto extremo absoluto e relativo

Ponto extremo é o nome dado para os pontos máximo e mínimo. Este vídeo mostra como identificar pontos extremos relativos e absolutos no gráfico de uma função.

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Transcrição de vídeo

RKA10JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Aqui temos um exercício que pede o seguinte: marque todos os extremos relativos no gráfico abaixo. E eu sugiro que você pause o vídeo, olhe para este gráfico e tente identificar os extremos relativos. Vamos lá, então. Se você não sabe, existem dois extremos relativos: o máximo relativo e o mínimo relativo, e ambos são, de certa forma, fáceis de se detectar. Por exemplo, o máximo relativo é o ponto mais alto relativo àquela vizinhança, e você nem precisa olhar para outras partes do domínio da função. E não necessariamente precisa ser uma curva, tá? Podemos ter o máximo relativo desse jeito aqui. E claro, esse pico não necessariamente vai ser o único. Pode haver outros máximos relativos em cada um desses aqui. Agora, os mínimos relativos são o oposto. Eles vão ser a parte mais baixa dessa curva. Nesse caso, aqui temos um mínimo relativo. Não necessariamente tem que ser uma curva, mas necessariamente é o ponto mais baixo em relação à vizinhança. E você nem precisa se preocupar com outros valores, ainda mais inferiores. E claro, um outro contexto para esses extremos é quando nós temos uma função constante. Todos os pontos dessa função vão ser máximos e mínimos. Por exemplo, se eu colocar aqui um plano cartesiano, esse aqui é o eixo "x", e esse aqui é o eixo "y", e se esse ponto aqui é "x" igual a "C", Se você construir um intervalo aberto em torno dele, o valor de f(C) é o mesmo que valores maiores do que ele, e é tão pequeno quanto valores ao seu redor dentro do intervalo. Ou seja, dentro do intervalo o máximo e o mínimo relativo são os mesmos. Mas claro, esse é um caso que você não encontra com tanta frequência. Entendido isso, vamos olhar para o nosso gráfico e encontrar os extremos relativos. Aqui nós temos um pico e aqui também, e claro, esse ponto e esse ponto não são máximos relativos. Mas por quê? Nesse ponto, se você for para a direita, você vai encontrar valores maiores do que ele, correto? Por isso, ele não está no topo da sua vizinhança. E esse aqui, se você olhar para a vizinhança à esquerda, vai ver que existem valores maiores do que ele. E quanto aos mínimos relativos? Esse aqui é um mínimo relativo. Esse aqui também e esse aqui também. Entendido isso, vamos fazer agora um exemplo em que vamos lidar com extremos absolutos? E, para isso, temos o seguinte aqui: marque o máximo absoluto e o mínimo absoluto no gráfico abaixo. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente responder isso sozinho. Vamos lá, então. Nós temos o máximo absoluto em, digamos, "x" igual a "c" se e somente se f(C) é maior ou igual a f(x) para todo "x" no domínio da função. E você tem o mínimo absoluto em "x" igual a "c" se e somente se f(C) é menor ou igual a f(x) para todo "x" pertencente ao domínio. Ou melhor dizendo, o máximo absoluto é o ponto mais alto do gráfico dentro do domínio. E olhando o nosso gráfico, o ponto mais alto dele é esse aqui. E o mínimo absoluto é o ponto mais baixo que nesse caso é esse aqui, mesmo sendo um ponto extremo do gráfico. Então, esse é o máximo absoluto e esse aqui, o mínimo absoluto. E, de novo, existem alguns casos que você não vê com tanta frequência, mas podem acontecer, por exemplo, se essa função continuasse subindo, e depois ficasse constante aqui no 9, quais seriam os extremos absolutos? Esse aqui não seria mais o máximo absoluto, correto? Ou seja, todos os pontos que estivessem nessa parte constante seriam máximos absolutos porque seriam maiores do que qualquer outro ponto do gráfico no intervalo da função. Mas como não estamos lidando com esse tipo de gráfico, esse aqui é o máximo absoluto. Mas é algo fácil de se identificar, o ponto mais alto do gráfico vai ser o máximo absoluto e o ponto mais baixo, o mínimo absoluto. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!