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Exemplo resolvido: domínio e imagem de função degrau

Como encontrar o domínio e a imagem de uma função definida por partes, constante em cada segmento. Essas funções são chamadas de "funções degrau".

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  • Avatar sneak peak blue style do usuário Ana Paula Nascimento
    Imagem de uma função e o contradomínio é a mesma coisa?
    (5 votos)
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    • Avatar starky ultimate style do usuário Érik de Castro
      Não, Contradomínio é conjunto que contém elementos de saída, Imagem é formado pelos elementos do Contradomínio que tem correspondência no Domínio, o conjunto imagem está contido no Contradomínio e pode ser igual ou não a esse conjunto. Ex:
      f(x) = x/2 Se eu disser que o Domínio é {2,4,6} e o Contradomínio os números reais, a imagem será {1,2,3} , se eu disser que o Domínio é o conjunto dos números reais a imagem também será o conjunto dos números reais e portanto igual ao Contradomínio.
      Resumindo, o conjunto Contradomínio pode ter elementos que não correspondem a nenhum elemento do Domínio, mas o conjunto imagem só deve possuir elementos correspondentes.
      (11 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA - Aqui eu tenho uma função real definida por partes da seguinte maneira: f(x) é igual a 1 quando o x está entre 0 e 2, sendo que não está incluindo o zero, é igual a 5 quando o x está entre 2 e 6, não está incluindo nenhum desses dois valores, e a f(x) é igual a -7 quando o x está entre 6 e 11, incluindo os dois valores. Eu quero pensar, aqui, sobre o domínio e a imagem dessa função. Então, só como revisão, o domínio é o conjunto de todos os valores que esse x aqui pode assumir, que é a minha variável independente. E aí é o seguinte, vamos verificar se eu consigo ir do zero até o 11 sem nenhum pulo. O zero, nesse caso, não está incluído, porque o x tem que ser maior que zero, não é maior ou igual. Aqui você vê que o x tem que ser menor ou igual a 2, e aqui ele já começa do 2, sem incluir o 2 é claro, se não teria dois valores aqui. Aqui funcionou, não tem buraco e o x tem que ser menor do que 6. Aí você percebe que aqui embaixo começa com um x maior ou igual a 6, então aqui ele já incluiu o 6. Logo, eu consigo ir do zero até o 11 sem nenhum buraco, então, eu posso dizer que o meu domínio aqui vai desse valor, ou seja, o zero menor que x, até esse valor superior aqui. Então, o valor mínimo é o zero, mas sem incluir o zero, números bem próximos do zero, o x está chegando perto do zero, mas ele nunca vai ser igual a zero, até o x igual a 11 e aqui o x pode ser menor ou igual a 11, então ele pode incluir o 11. Todos os valores, tais que o x está entre zero e 11, não incluindo o zero, mas incluindo o 11. E a imagem? A imagem aqui vai funcionar da seguinte maneira: a imagem nesse caso vai ser muito simples calcular, pois é todos os valores que a função vai admitir quando eu jogar esse valor do x nela. E você percebe, neste caso aqui, que a função vai dar 1, 5 ou então -7 dependendo do valor do x que eu pegar aqui no meu domínio. Então, eu posso escrever que a minha imagem vai ser f(x) pertencente aqui a esse conjunto: 1, 5 e -7. Sempre vai dar um desses 3 valores aqui. Uma outra maneira de escrever isso daqui, uma maneira menos matemática para escrever essa mesma coisa, essa mesma sentença que eu escrevi em notação de conjunto, é o seguinte, eu vou falar que f(x) pode ser igual a 1, a 5, ou então igual a -7. Essa aqui é uma maneira menos matemática de dizer essa coisa que eu escrevi aqui em cima, que o f(x) pertence ao conjunto 1, 5 ou -7, que você percebe que vai dar um desses três valores aqui. Se o x estiver entre zero e 2, incluindo 2, a função vai ser igual a 1. Se o x estiver no intervalo entre 2 e 6 sem incluir nem o 2 e nem o 6, a função dá igual a 5 e se o x estiver no intervalo entre 6 e 11, incluindo os dois valores, a função vai dar igual a - 7. Até o próximo vídeo!