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Exemplo resolvido: cálculo de funções definidas por partes

Uma função definida por partes é uma função que é definida em "partes" separadas ou intervalos. Para cada região de um intervalo, a função pode ter uma equação ou regra diferente que a descreve. Podemos calcular as funções definidas por partes (encontrar o valor da função), usando suas fórmulas ou seus gráficos.

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Transcrição de vídeo

RKA - Aqui nós temos o seguinte exercício: considere a seguinte função definida por partes. Ele me dá f(t) e me dá essas diversas funções aqui nesses intervalos. Então, aqui "t" menor ou igual a -10, aqui o "t" está entre -10 e -2, sem incluir nenhum dos dois valores e o "t" maior ou igual a -2. E ele quer saber qual é o valor da f(-10). E, nesse caso, o -10 vai estar nesse intervalo aqui, porque o "t" tem que ser menor ou igual a -10. Logo, a f(-10), o "t" vai ter que ser igual a -10, eu vou usar então essa função aqui. Eu vou calcular a f(-10) vai ser igual a t² - 5t, ou seja, já apareceu "t", vou colocar o valor que é -10. Então, vai ficar -10² menos o 5, que multiplica ali o -10. E aí, eu vou ter o seguinte: -10², -10 vezes -10, vai dar 100 positivo. E -5, esse 5 negativo aqui, quando multiplicado por esse -10, menos com menos vai dar mais e aqui eu vou ter, então, + 50, logo a f(-10) vai ser igual a 150. E, dessa forma, nós calculamos, então, o valor da f(-10). Vamos fazer mais uma. Embaixo, vamos fazer mas essa aqui agora. Aqui, é o seguinte: considere a seguinte função definida por partes. Ele me dá uma h(x) definida aqui com diversas funções nesses intervalos aqui. Ele quer saber qual é o valor da h(-3), logo eu tenho que encontrar qual é o intervalo onde esse -3 aqui vai pertencer. E, neste caso aqui, você percebe que o -3 está nesse intervalo aqui do menos infinito até o zero. Então, ele está dentro desse intervalo. Se eu quisesse calcular o 3 positivo, ele estaria nesse intervalo aqui. Ou. se eu quisesse calcular o x igual a 30, ele estaria nesse outro intervalo aqui. Mas, com é -3, vai estar nesse primeiro intervalo, então eu vou usar h(x) igual a x³. Logo, quando eu calcular esse valor aqui, eu vou ter o h(-3) igual a (-3)³ e isso dá igual a -27. Número negativo elevado a expoente impar, dá negativo, 3 vezes 3 vezes 3 vai dar 27 e, aqui, nós terminamos h(-3), vai ser igual a -27. Vamos fazer mais uma aqui. Está aqui o nosso próximo exercício. Abaixo, está o gráfico da função g(x). Relacione cada expressão ao seu valor. Então, aqui ele me dá alguns valores, aqui você percebe o gráfico da g(x), ele vem aqui do -9 até o -3 aqui assim, bolinha fechada aqui e bolinha fechada aqui. Depois ele pula aqui para cima, aí tem um gráfico aqui em cima, depois ele pula aqui para baixo, tem o gráfico aqui embaixo. Temos que cuidado aqui com a bolinha fechada e com a bolinha aberta. Então, é o seguinte, quanto vai ser a g(-3,00001)? Vai ser o seguinte, esse número está bem próximo do -3, um pouquinho antes, então vai estar por aqui assim. E, logo, quando a gente encontrar o correspondente dele aqui, eu posso considerar que essa, o valor da função aqui, para 3. Agora, aqui é o seguinte, g(3,9999) é um pouquinho menos que 4 positivo, o 4 positivo está bem aqui, então, esse número, que é um pouquinho antes do 4, ele está bem por aqui. Quando eu subir aqui para encontrar o valor dele, 7. Vou colocar aqui g(3,999), isso vai dar igual a 7 aqui. E agora, para calcular g(4,0001). Esse valor também está muito perto do 4, mas você percebe aqui, quando a gente analisa o gráfico, que quando essa função aqui dá exatamente 4, ou seja, quando eu coloco o x na g, g(4) aqui, isso vai dar igual a 7 exatamente. Agora, quando eu passo de 4, você percebe que aqui está bolinha fechada, então, a g(4) vai dar exatamente igual a 7, aqui embaixo a bolinha está aberta, isso quer dizer o quê? Que para o x igual a 4, não vou ter um correspondente aqui embaixo, se não deixaria de ser função, se eu tivesse duas imagens aqui. Agora, como esse número é um pouco maior, ele vai estar já aqui embaixo, vai estar aqui assim e você percebe que para esse valor aqui, um pouquinho maior que 4, você percebe que o valor vai dar aqui igual a -3. Então, vou colocar aqui, que a g(4,001) é -3. Então, você conseguiu compreender? É por causa exatamente disso, para valores menores do que 4, o gráfico vai estar lá em cima, para valores um pouco maiores do que 4, vai estar aqui embaixo. E agora, para calcular g(9), você percebe aqui, quando o x valer 9, o correspondente aqui vai ser um valor indefinido. A função não está definida para quando x é igual a 9. Então, vou dizer aqui que é indefinido. E assim, a gente termina o nosso vídeo. Até o próximo vídeo!