Exemplos de transladação de funções

RKA - Temos aqui dois gráficos que parecem muito parecidos: "y" igual "f(x)" e "y" igual a "g(x)". E o que é pedido é para escrever uma fórmula para "g" em termos de "f". Como sempre, pause o vídeo e tente fazer isso sozinho primeiro. Bom, eu gostaria primeiro de examinar este ponto mínimo aqui. Parece fácil começar por aqui porque ambos têm esse mesmo ponto mínimo. Como é que eu faço para esse ponto mínimo do "f(x)" ser deslocado até chegar ao mesmo lugar do "g(x)"? Vamos examinar por partes, primeiro verificamos que estamos deslocando este ponto mínimo do "f(x)" em 4 unidades para a esquerda, para que ele tenha, portanto, a mesma abscissa do ponto mínimo do "g(x)". Agora, na vertical, precisamos deslocar este ponto da ordenada 2, até a ordenada "-5", portanto 7 unidades para baixo. Então, a expressão que define "g(x)" tem que ser uma que faz com que, os pontos do "f(x)" sejam deslocados 4 unidades para esquerda e 7 unidades para baixo, assumindo que o gráfico de "g" é uma translação do gráfico de "f". Uma maneira de pensar melhor sobre as expressões que vão aparecer aqui, é verificar que "g(x)" é igual a "f(x)" menos o deslocamento horizontal, mais o deslocamento vertical. Bem, mas qual é o nosso deslocamento horizontal aqui? Nós estamos deslocando à esquerda, então é um deslocamento negativo, um deslocamento de "-4", que eu vou colocar aqui na expressão. E o deslocamento vertical, bem, se o gráfico está "descendo", então o deslocamento vertical é de "-7" e pronto. Conseguimos "g(x)" igual a "x" menos o "-4", ou seja, "x" + 4 e depois ainda temos mais "-7", mais "-7" é simplesmente - 7. E pronto. Examinando um pouco o que temos aqui para o "g(x)", o "-7" é um pouquinho mais intuitivo, porque sinaliza o deslocamento do gráfico do "f(x)" 7 unidades para baixo, ou seja, no sentido negativo das ordenadas. Mas aqui, entre os parênteses, esse "x" mais 4, se eu desloquei horizontalmente para a esquerda o gráfico, porque o mais 4? E, uma maneira que eu tenho para pensar sobre isso é que, para conseguir o mesmo valor na função, eu preciso compensar esse deslocamento, por exemplo, se eu quiser o mesmo valor do "f" de "0", eu tenho que colocar "-4" no lugar do "x", e aí eu consigo o mesmo valor "-4" + 4 é "0". Ou seja, o resultado que tem que ser o mesmo, e a mudança no "x" tem que compensar o deslocamento. Uma coisa que pode ajudar bastante na sua compreensão, é fazer essa ideia para vários valores diferentes de "x", e ver como realmente eles se comportam no deslocamento do gráfico da função, no sentido do eixo das abcissas, entre aspas, horizontal. Inclusive, você pode trabalhar com exemplos que tenham somente deslocamento horizontal para analisar com mais calma isto. Em alguns vídeos bastante anteriores, temos a exploração desta ideia. Vamos agora para outro exemplo: bem, aqui temos "y" igual a "g(x)", em rosa, e "y" igual a "f(x)" em azul. E, sendo dado que o "f(x)" é a raiz quadrada de "x + 4 - 2", escreva uma expressão para "g(x)" em termos de "x". Primeiro, vamos escrever "g(x)" em termos do "f(x)" e depois nós podemos fazer "g" em função de "x". Podemos perceber que o gráfico do "f(x)" simplesmente foi deslocado para cima e para a esquerda, então lembre-se de que, quando temos deslocamentos, simplesmente podemos escrever de maneira geral, "g(x)" é igual ao "f(x)" menos o deslocamento horizontal, depois mais o deslocamento vertical. Então, vamos lá, quando vamos de "f" para "g", qual é o nosso deslocamento horizontal? Bem, basta observar, nesse ponto que é mais fácil de identificar a relação entre os gráficos, que na direção horizontal nós deslocamos duas unidades à esquerda, ou seja, um deslocamento de "-2". Neste mesmo ponto, qual é o deslocamento vertical? Bem, neste ponto vamos de "y" valendo "-2", até o "y" valendo 3, portanto, deslocamos para cima cinco unidades, ou seja, o deslocamento vertical é de +5. Arrumando aqui as informações, vamos ter, então, que o "g(x)" é igual "f(x)" menos 2, ou simplesmente "x + 2", mais o 5 do deslocamento vertical. Mas, não era somente isso que tínhamos que escrever, foi pedido que nós escrevamos "g(x)" em função de "x" não em termos do "f(x)". Neste momento, podemos simplesmente usar a definição do "f(x)" que é a raiz quadrada de "x + 4 - 2". Vou escrever aqui para ficar um pouco mais claro: "f(x)" é igual à raiz quadrada de "x + 4 - 2", já que temos isso, o que é "f(x + 2)"? "f(x + 2)" vai ser a raiz quadrada de, no lugar do "x" eu vou colocar a entrada que eu estou indicando ali, que é o "x + 2", então raiz quadrada de "x + 2 + 4 - 2", o que vai nos dar simplesmente a raiz quadrada de "x + 6 - 2". Mas, isto que fizemos aqui é só o "f(x + 2)", agora, voltando ali, queremos "f(x + 2 ) + 5", então o "f(x + 2) + 5 vai ser esta expressão que temos acima, acrescentando 5 a ela. Então, a raiz quadrada de "x + 6 - 2" e, finalmente, + 5, o que vai nos dar raiz quadrada de "x + 6 + 3". E isso, finalmente, é o "g(x)" em função de "x". Retomando, então, o que foi feito aqui: primeiro escrevi "g(x)" em termos de "f(x)", e simplesmente obtivemos isso sabendo que deslocamos duas unidades à esquerda o gráfico do "f" e 5 unidades para cima, lembrando que dentro dos parênteses aquele + 2 indica o deslocamento de duas unidades à esquerda, na direção horizontal, esse "+" pode enganar um pouco a sua intuição. Na direção vertical, o + 5 é o que desloca 5 unidades para cima, sabendo, então, que o "g(x)" é o "f(x + 2) + 5", fomos computar o que era o "f(x + 2)" envolvendo "x", porque afinal a resposta que queremos envolve "x", não "f(x)". Sabendo que o "f(x)" é raiz quadrada de "x + 4 - 2", substituímos o "x" por "x + 2" naquela expressão, e assim simplificamos. Depois, lembrando que queremos "g(x)" que é o "f(x + 2)" ainda + 5, copiamos a mesma expressão acrescentando 5 e simplificando. Obtivemos, portanto, o "g(x)" em função de "x" E, com isso, acabamos o trabalho. Até o próximo vídeo.