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Identificação de transformações de função

Neste vídeo, mostramos vários exemplos de como escrever g(x) de forma implícita em função de f(x) quando g(x) é um deslocamento ou uma reflexão de f(x). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos estudar mais alguns gráficos de funções. A função representada pela curva vermelha aqui é a função f(x) e a função representada pela curva azul é então g(x). A questão é que eu quero relacionar, escrever g(x) em termos de f(x). Se você observar aqui, por exemplo no vértice, o "x" está aqui. O f(x) é um valor que dá para perceber que o g(x) tem valor exatamente uma unidade maior do que o f(x). Ou seja, o g(2) é igual ao f(2) acrescentado de uma unidade. Será que isso é válido para todo o "x"? Se você pegar aqui o f(x) para chegar no g(x) tem que ser aumentado exatamente de uma unidade. Se você pegar aqui, por exemplo, o g(x) está a uma unidade, exatamente acima. Mesmo onde os gráficos na horizontal parece que vão ficar muito próximos, se eu pegar um ponto aqui, o correspondente no "g" dá uma unidade acima, de maneira que eu posso escrever genericamente que o g(x) = f(x) acrescentado de 1 unidade. Se você perceber, a curva azul está exatamente uma unidade para cima em relação à curva vermelha. Vamos olhar outro exemplo aqui. A vermelha é f(x), a azul g(x) e eu quero fazer a mesma coisa: expressar g(x) em termos de f(x). A ideia também é olhar para alguns pontos. Bem, aqui nós podemos ver que, pegando um ponto de f(x), o "g" correspondente está exatamente duas unidades abaixo, duas unidades menor. Se eu pegar aqui outro ponto, vamos encontrar o "g" duas unidades menor do que o "f". Eu posso fazer isso para vários pontos e ver que o "g" está sempre duas unidades menor que o "f", de modo que eu posso, para qualquer "x", escrever que o g(x) = f(x) subtraído de 2 unidades, subtraído em 2 unidades. Vamos para mais exemplos. Aqui, de novo, a curva azul é g(x) e a curva vermelha é o nosso f(x). Vamos pensar sobre o quê está acontecendo aqui. Eu posso pegar um ponto arbitrariamente, por exemplo aqui o -3. Aqui eu tenho o -3 e o f(-3) neste ponto. O valor de f(-3), se você observar, coincide exatamente com o valor de g(-1). O g(-1) é igual ao f(-3). O g(-1) é igual ao f(-3). Nós poderíamos pegar outro ponto, por exemplo, quando "x" vale zero, eu tenho aqui o g(0). O g(0) é equivalente, se você seguir pelo gráfico, ao f(-2). Podemos tentar com mais um ponto. Tomando 1 para o "x", eu vou ver que aqui o g(1) g(1) equivale, equivale ao f(-1). Você pode perceber que existe alguma relação. Qualquer entrada que eu coloque para o "g" equivale a colocar essa entrada -2 aqui para o "f". g(-1) é f(-3). g(0) é f(-2). g(1) é f(-1), de maneira que, em geral, o g(x) é igual ao f(x) diminuído de duas unidades. g(x) = f(x - 2). Você deve perceber que o fato de ter x - 2 dentro dos parênteses, na entrada do "f", faz com que o gráfico do f(x) se desloque duas unidades para a direita. Cada ponto do gráfico se desloca duas unidades para a direita. Se fosse x + 2, eles estariam deslocadas duas unidades para a esquerda. Para este outro exemplo, g(x) novamente é a linha azul e f(x) a vermelha. Se você observar, parece que a linha azul tem alguma relação com a vermelha com alguma ideia de simetria em relação ao eixo "x". Então, para começar, vamos fazer a imagem espelhada simétrica, em relação a "x", da curva azul. Eu vou tomar alguns pontos simétricos em relação ao eixo "x". Por exemplo, aqui que é o -2, eu teria aqui o 2. Aqui que eu tenho -1, eu localizo o 1. Este ponto tem o seu simétrico por aqui, de maneira que agora eu posso fazer uma curva aproximadamente à mão livre, simétrica à curva azul em relação ao eixo "x". Ficaria algo, vou fazer com a mão livre, aproximadamente assim. Essa é uma ideia da simetria desta em relação ao eixo "x" e agora a gente pode perceber, com algum cuidado, que cada ponto aqui do "f" é o triplo desse. Então, vamos analisar primeiro que este aqui é -g(x) porque colocando o menos eu troco sinal de todos os valores do g(x). Tudo que aqui era negativo passa correspondentemente ao positivo simétrico. E você pode ver que, neste ponto aqui, a função vale 2 e neste correspondente a função vale 6, é o triplo. Neste ponto aqui, a função está bem perto de 1 e aqui o triplo mais uma vez. Essa linha vermelha então aqui representa o f(x) que é igual ao triplo desta. Ou seja, 3 vezes o -g(x). Escrevendo um pouco mais arrumado, f(x) = -3 × g(x), mas eu quero escrever o g(x) em termos de "f". Basta dividir os dois lados por -3, de modo que eu teria -⅓ f(x), que é a operação inversa. Se f(x) é -3 × g(x), o triplo negativo, o g(x) então vai ser -⅓ f(x). Esta aqui é a relação que eu consigo de g(x) escrito em termos de f(x). Espero que você tenha aproveitado bem esta ideia. Até o próximo vídeo!