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Como verificar se funções são inversas por meio da composição

Aprenda a verificar se duas funções são inversas fazendo a composição delas. Por exemplo, f(x)=5x-7 e g(x)=x/5+7 são funções inversas?
Este artigo inclui um grande número de composições de função. Se você precisa de uma revisão sobre este assunto, recomendamos que você entre aqui antes de ler este artigo.
Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se uma função leva a para b, então a sua inversa deve levar b para a.
Vamos pegar as funções f e g como exemplo: f(x)=x+13 e g(x)=3x1.
Observe como f(5)=2 e g(2)=5.
Vemos que, quando aplicamos f seguida por g, obtemos a entrada original de volta. Escrito na forma de uma composição, isto é g(f(5))=5.
Mas para que duas funções sejam inversas, temos que mostrar que isto acontece para todas as entradas possíveis independentemente da ordem em que f e g são aplicadas. Isso dá origem à regra de composição da função inversa.

Regra de composição da função inversa

Estas são as condições para que duas funções f e g sejam inversas:
  • f(g(x))=x para todos os valores de x no domínio de g
  • g(f(x))=x para todos os valores de x no domínio de f
Isso acontece porque, se f e g são inversas, compor f e g (em qualquer ordem) cria a função que, para toda entrada, retorna essa mesma entrada. Chamamos esta função de "função identidade".

Exemplo 1: as funções f e g são inversas

Vamos usar a regra de composição da função inversa para verificar se f e g acima são, de fato, funções inversas.
Lembre-se de que f(x)=x+13 e g(x)=3x1.
Vamos calcular f(g(x)) e g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x
Então, vemos que as funções f e g são inversas pois f(g(x))=x e g(f(x))=x.

Exemplo 2: as funções f e g não são inversas

Se f(g(x)) ou g(f(x)) não forem iguais a x, então f e g não poderão ser inversas.
Vamos testar isso para f(x)=5x7 e g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285
Então, as funções f e g não são inversas porque f(g(x))x e g(f(x))x.
(Observe que poderíamos ter concluído que f e g não eram inversas depois de mostrarmos que f(g(x))=x+28.)

Teste seu conhecimento

Em geral, para verificarmos se f e g são funções inversas, podemos fazer sua composição. Se o resultado for x, as funções serão inversas. Caso contrário, elas não serão.

1) f(x)=2x+7 e h(x)=x72

Escreva expressões simplificadas para f(h(x)) e h(f(x)) em função de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
As funções f e h são inversas?
Escolha 1 resposta:

2) f(x)=4x+10 e g(x)=14x10

Escreva expressões simplificadas para f(g(x)) e g(f(x)) em função de x.
f(g(x))=
g(f(x))=
As funções f e g são inversas?
Escolha 1 resposta:

3) f(x)=23x8 e h(x)=32(x+8)

Escreva expressões simplificadas para f(h(x)) e h(f(x)) em função de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
As funções f e h são inversas?
Escolha 1 resposta:

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