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Como verificar se as funções são inversas por meio da composição: não inversa

Neste vídeo, compomos f(x)=2x-3 e g(x)=½x+3 e descobrimos que f(g(x)) ≠ g(f(x)) ≠ x, o que significa que as funções não são inversas.

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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos dizer que a função "f" é definida por "f(x)" igual a "2x" menos 3, e a função "g" é definida por "g(x)" igual a meio "x" mais 3. Quero, neste vídeo, saber o que o "f" do "g(x)" é, e também vou querer saber o que é que dá o "g" de "f(x)", mas vamos começar aqui com "f" do "g(x)". Como sempre, pause o vídeo e tente obter sozinho. Então vamos lá: "f" de "g(x)" vai ser igual, veja, eu estou aplicando a função "f" ao "g(x)", quando falamos "f(x)", "x" é a entrada, é o domínio que eu estou usando, o que quer que esteja no lugar de "x", entre os parênteses, deve ser colocado no lugar do "x" na expressão que define a função "f". Ou seja, se "f(x)" é igual a "2x" menos 3, o "f" do "g(x)" vai ser igual a 2 vezes "g(x)" menos 3, a entrada é o "g(x)". Bem, mas agora eu sei o que é o "g(x)", o "g(x)" é toda aquela expressão, e eu vou então escrevê-la aqui. Vamos ficar com 2 vezes, agora o "g(x)" que é meio "x" mais 3, e ainda, o menos 3 da definição da função "f". Vou agora simplificar a expressão, distribuindo 2, 2 vezes meio "x" dá simplesmente "x", mais 2 vezes 3 que é 6, e ainda temos o menos 3, ou seja, simplesmente "x" mais 3. Então, esta é a expressão que define "f" de "g(x)". Agora vamos para "g" de "f(x)". Ao escrever aqui "g" de "f(x)", observe que eu estou falando que a entrada para a função "g" é o "f(x)", e isso vai ser igual a meio vezes a nossa entrada, que não é "x" é o "f(x)" mais 3, ou seja, "g" de "f(x)" é igual a meio "f(x)" mais 3. Observe que na expressão original a entrada era "x", então era "x" que aparecia na expressão, agora a entrada é "f(x)", portanto, é o "f(x)" que eu vou usar na expressão que define "g". Muito bem, mas eu sei o que é o "f(x)" e eu vou escrever novamente aqui: meio vezes, no lugar do "f(x)" vou colocar a expressão que a define, que é "2x" menos 3, e depois ainda temos o mais 3. Vou eliminar agora os parênteses para simplificar a expressão, meio vezes "2x" resulta simplesmente em "x", menos meio vezes 3, são 3 meios, e ainda mais 3. Este 3 inteiros é a mesma coisa que 6 meios, com menos 3 meios vamos ter mais três meios, ou seja, simplificando esta expressão, chegamos simplesmente a "x" mais 3 meios. Então observe, temos expressões diferentes para "f(x)" e para "g(x)" e, além disso, quando aplicamos "f" ao "g(x)" nós não voltamos para "x", idem para "g" de "f(x)" e, portanto, sabemos que "f" e "g" aqui não são funções inversas uma da outra. Observe que eu poderia ter feito somente um dos dois cálculos para ter certeza que uma não é inversa da outra. Escrevendo aqui, "f(x)" é diferente, não é igual ao do g⁻¹(x), da inversa do "g(x)", e da mesma forma "g(x)" não é igual ao f⁻¹(x), a inversa de "f". E, para verificar que elas não são inversas, vamos analisar aqui um valor "x", se a ele eu aplicar à função "g", vamos chegar a uma imagem "g(x)", e se eu aplicasse a inversa do "g" ao "g(x)", eu deveria voltar para o "x" e, se eu aplicar "f" ao "g(x)" temos claramente aqui que não vamos voltar para "x", já que obteríamos "x" mais 3, a mesma coisa que no "g" de "f(x)", aplicando "g" ao "f" não voltaríamos para "x", teríamos "x" mais 3 meios. Então, definitivamente uma não é inversa da outra. Até o próximo vídeo.