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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 1
Lição 1: Visão geral e história da álgebraAs maravilhas da álgebra
Porque a abstração da Matemática é tão essencial. Versão original criada por Sal Khan.
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- Fiz graduação em Matemática, mas confesso que aqui aprendi muito mais do que aprendi na universidade. Esses vídeos de introdução à álgebra abriram algumas portas em minha mente que ainda estavam fechadas!(2 votos)
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Transcrição de vídeo
RKA19MC - Antes de chegarmos
ao grosso da álgebra, gostaria de citar uma das mentes
mais brilhantes da história humana, Galileu Galilei, pois acho que sua frase
abrange o verdadeiro ponto da álgebra e da matemática em geral. Ele disse: "A filosofia está escrita
em um grande livro que está diante dos nossos olhos,
e este é o universo, mas não poderemos entender este livro se antes não aprendermos a linguagem e compreendermos os símbolos
no qual é escrito. Este livro está escrito em
linguagem matemática sem a qual nos perderemos em vão
por um labirinto escuro." Bastante dramático,
mas bastante profundo. Isso realmente mostra qual é
o ponto da matemática e o que veremos assim
que começarmos a nos aprofundar mais e mais na álgebra. Teremos que abstrair coisas
para alcançar as ideias centrais que começam a explicar realmente
como o universo é estruturado. Logicamente, essas ideias
podem ser aplicadas a coisas como Economia, Finanças,
Física e Química, mas, na sua essência, são a mesma ideia. Assim, são mais fundamentais, mais puras, que qualquer uma dessas aplicações. E, para ver o que eu quero dizer
com alcançar a origem da ideia, vamos começar com um... acho que poderíamos... bom, começamos
com a grande filosofia do universo, como é descrita usando matemática. Vamos começar com uma ideia
bastante simples e concreta. Vamos nos abstrair
e ver como a mesma ideia se conecta ao longo dos vários domínios
em nosso universo. Digamos que estamos em uma loja e vamos comprar algo que está em promoção. A promoção está com 30% de desconto. E aí eu me interesso! Não faço compras em lojas muito caras. Vamos dizer que estou interessado
em uma calça que, antes da promoção,
custava cerca de 20 reais. Isso é o quanto eu gasto
com as minhas calças. Enfim, estou interessado
em uma calça de 20 reais, mas o que é ainda melhor
é que há um desconto de 30% nessa calça. Quanto você acha que eu vou ter
de desconto no preço de 20 reais? Isso nem é álgebra ainda. É algo
que provavelmente você já viu antes. Você multiplicaria 30% vezes 20 reais. Assim, seu desconto seria igual a... Você poderia escrever que deveria ser igual
a 30% vezes 20 reais. Queremos escrever 20 reais em roxo. Ou você poderia escrever, caso quisesse,
como uma multiplicação, poderia escrever como 0,30 vezes 20 reais. Se fizesse as contas, teria 6 reais. Não tem nada de novo até aqui. Mas, e se eu quisesse generalizar
um pouco? Esse é o desconto dessa calça
em particular, mas se eu quisesse saber o desconto
de qualquer item da loja? Bom, então eu poderia dizer:
seja "x" o preço. Vamos usar outra cor.
Vou utilizar um símbolo: seja "x" o preço do produto
que eu quero comprar, o preço sem desconto do produto na loja. Agora, podemos dizer que nosso desconto é igual a 30% vezes "x", o desconto é 30% vezes "x". Ou, se quiséssemos escrever como decimal, a gente poderia escrever 30%
na forma decimal. Poderíamos escrever 0,30 vezes "x". Agora, vem a parte interessante. Posso pegar o preço de qualquer
produto da loja e substitui-lo aqui por "x", basicamente,
posso multiplicar 0,30 vezes "x" para obter o valor do desconto. Agora sim, estamos começando,
pouco a pouco, a nos aproximar da abstração da álgebra. Veremos que ela pode apresentar
muito mais nuances e profundidade e, francamente, muito mais beleza, conforme começamos a estudar
mais e mais ideias algébricas. Mas, ainda não terminamos aqui. Podemos abstrair isso
um pouco mais ainda. Dissemos que generalizamos
para qualquer produto, não estamos dizendo que fizemos
apenas para o produto de 20 reais. Caso o produto custe R$10, podemos colocar o valor do produto
de R$10 no lugar de "x". Então, teremos 0,30 vezes 10. O desconto seria de 3 reais. Poderia ser um produto de R$100.
E desconto seria 30 reais. Mas vamos generalizar mais. Digamos, qual é o desconto
para uma venda qualquer, quando a promoção tem certa porcentagem? Agora, podemos dizer que o desconto,
deixa eu definir uma variável, vamos chamar de "m" igual... Eu vou usar "p", para que faça sentido. "p" é igual à porcentagem do desconto. Porcentagem do desconto. O que podemos fazer agora? Podemos dizer que o desconto
igual a porcentagem de desconto.... Nesses outros exemplos,
estávamos usando 30%, mas agora podemos dizer que "p"
é a porcentagem de desconto. É "p", esta é a porcentagem de desconto
do produto em questão, vezes o preço sem desconto desse produto é igual ao valor a ser pago pelo cliente. Assim, o desconto é igual a
"p" vezes "x". Agora vem a parte interessante. Já que temos uma maneira genérica
de calcular o desconto para qualquer porcentagem
de desconto e qualquer produto "x", não precisamos usar essas palavras
e essas letras. Tudo o que poderíamos ter dito era: "seja 'y' igual ao desconto", então poderíamos ter escrito
essa mesma ideia. Em vez de escrever desconto,
poderíamos ter escrito "y" igual a porcentagem de desconto "p", vezes o preço sem desconto do produto,
vezes "x". Você poderia ter definido essas letras
do jeito que quisesse. Em vez de usar "y", poderia ter escrito
uma letra grega ou qualquer símbolo, desde que consiga
manter em mente que este símbolo representa, na verdade,
o desconto em reais. Temos algo realmente interessante,
porque podemos utilizar esse tipo de relação, que é uma equação, você está equalizando "y"
a esse lado direito aqui, é isso que chamamos de equação. Isso pode ser utilizado para coisas que estão completamente não relacionadas ao valor de desconto da nossa loja. Você pode ter na Física. Você vai ver que "F"
igual a "m" vezes "a". As letras são diferentes mas são
fundamentalmente a mesma ideia. Podemos deixar "y" igual a força
e "m" igual a... o "m" igual a "p". Deixa eu escrever que "p" é igual à massa. Só que essa não seria uma maneira
muito intuitiva de definir, mas quero te mostrar que a mesma ideia, a mesma relação está sendo aplicada
a duas coisas diferentes. Podemos dizer que "x"
é igual à aceleração. "x" é igual a aceleração. A famosa definição "força é igual a
massa vezes a aceleração" pode ser reescrita e permanece
exatamente a mesma ideia, já que "y", que definimos como força,
pode ser igual a massa, para a qual usaremos o símbolo "p", que é igual a "p" vezes aceleração. Aqui, vamos usar a letra "x",
vezes "x". Essa é exatamente a mesma equação. É exatamente a mesma equação. Podemos ver que essa equação
pode ser levada e aplicada para cálculos em Economia
ou aplicada para cálculos financeiros, ou para cálculos
de Tecnologia da Informação, ou Lógica, Engenharia Elétrica,
qualquer outra coisa, Contabilidade. Há um número infinito de aplicações
dessa equação. O que é legal sobre a Matemática, e particularmente legal sobre a Álgebra, é que podemos nos focar nessa abstração. A gente pode focar no abstrato aqui e podemos manipular esse abstrato. E o que descobrirmos a partir
dessas ideias, dessas manipulações, pode então ser levado e reaplicado a todas essas outras aplicações,
a todas elas. O que é ainda mais interessante
é que está nos mostrando, de certa forma, a verdadeira estrutura
do universo. Se pudesse colocar de lado todas
essas definições humanas e todas essas aplicações humanas,
por exemplo, poderíamos dizer:
"Olha, se 'y' é igual a 'p' vezes 'x'..." Literalmente, se alguém dissesse:
"Ei! Esse é 'y'." E alguém dissesse, por outro lado:
"Eu tenho 'p' vezes 'x'." Posso dizer: "Bom, vocês dois têm
a mesma coisa em suas mãos." Se você tivesse que dividir
um desses por um número e quisesse que eles se mantivessem iguais, dividiria o outro pelo mesmo número. Por exemplo, sabemos que
"y" é igual a "p" vezes "x", e você quer que os dois sejam iguais. Quanto é "y" sobre "x"? Bom, "y" era igual a "p" vezes "x". Então, "y" dividido por "x" será o mesmo
que "p" vezes "x", dividido por "x". Agora vem a parte interessante, pois "p" vezes "x", dividido por "x"... Se você multiplicar e dividir algo por uma
mesma coisa, obterá o número original. Se multiplicar "p" por cinco
e dividir por cinco terá apenas "p" ou seja lá que número for,
esses se cancelariam. Mas somos capazes de manipular
a abstração aqui e chegar a "y" sobre "x" igual a "p". Vamos fazer em verde,
"y" sobre "x" é igual a "p". Isso tem implicações
em cada uma dessas ideias. Uma está dizendo uma verdade fundamental
sobre o universo, quase desprovida de qualquer uma
dessas aplicações. Mas, agora, também podemos
pegá-las de volta e levá-las para qualquer lugar
onde as aplicamos. A coisa realmente interessante
é que encontraremos novas... Há um número infinito de aplicações e nem ao menos sabemos francamente
a maior parte delas. Vamos descobrir novas aplicações
por milhares de anos. Então, espero que isso te mostre a razão
de Galileu ter dito o que disse sobre a matemática realmente ser
a linguagem com a qual podemos entender
a filosofia do universo. Isso é o que as pessoas vão nos dizer, se uma forma de vida
completamente alienígena entrasse em contato com os humanos,
a matemática seria provavelmente nossa primeira base comum, a partir de
onde poderíamos começar a formar algo para servir de método de comunicação.