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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 3
Lição 7: Como escrever equações reduzidas da reta- Equação reduzida da reta a partir de um gráfico
- Como escrever equações reduzidas da reta
- Equação reduzida da reta a partir de um gráfico
- Equação reduzida da reta a partir do coeficiente angular e um ponto
- Equação reduzida da reta a partir de dois pontos
- Equação reduzida da reta a partir de dois pontos
- Problemas com equação reduzida da reta
- Equação reduzida da reta a partir do coeficiente angular e um ponto (antigo)
- Equação reduzida da reta a partir do coeficiente angular e um ponto: frações (antigo)
- Como encontrar a interceptação em y, dado o coeficiente angular e o ponto (antigo)
- Revisão da equação reduzida da reta
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Problemas com equação reduzida da reta
Saiba como resolver problemas em que é preciso escrever uma equação na forma reduzida da reta. Versão original criada por Sal Khan.
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- do vídeo o cálculo 2 - (-3) não seria 5 resultando em y/x=2, ou seja, m=2 e a interceptação do eixo y em zero, de onde se deduz a equação y=2x? (b=0) 11:28(2 votos)
- Olá, realmente o resultado de
2 - (-3)
é5
, mas não se esqueça que este valor esta sendo dividido por-1 - 1,5
que é equivalente a-2,5
, e portando o resultado da equação da "variação de y / variação de x" fica5 / -2,5
que é-2
, ou seja,m = -2
ey = -2x + b
. E para encontrar b, basta aplicar um dos pontos na equação, por exemplo, se aplicarmos o ponto (-1, 2), teremos2 = -2(-1) + b
2 = 2 + b
-2 + 2 = -2 + 2 + b
0 = b
resultando na equaçãoy = -2x
(2 votos)
- Qual é o nome desse programa utilizado nos vídeos para escrever os cálculos? Essa tela preta que serve como um quadro.(2 votos)
- Bom dia, pelo que eu sei não é um programa específico; e sim uma lousa digitai interativa. Mas a probabilidade de estar enganado.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Nesse vídeo, vamos dar vários exemplos
de como descobrir as equações de retas na forma de equação reduzida
da reta (para revisar). Isso significa que são equações
de retas na forma de "y = mx + b", onde "m" é o coeficiente angular
e "b" é a interceptação de "y". Vamos resolver alguns
desses problemas. Aqui, eles dizem que uma reta tem um
coeficiente angular de -5, então "m = -5"; e ela tem uma interceptação de "y" de 6,
"b = 6". Portanto, é bem simples. A equação dessa reta
é "y = -5x + 6". É, até que foi fácil. Vamos fazer o próximo aqui. A reta tem um coeficiente angular
de -1 e contém o ponto (4/5; 0). Então, eles estão nos dizendo que o
coeficiente angular é -1 (sabemos que "m = -1"), mas não têm 100% de certeza sobre onde
está a interceptação da reta com o eixo "y". A gente sabe que essa
equação vai ser na forma "y" é igual ao coeficiente angular (-1) "x"
mais "b", onde "b" é a interceptação de "y". Agora, a gente pode usar essas informações de coordenadas, o fato de que ela contém este ponto... dá para usar essa informação
para descobrir o "b". O fato de que a reta contém esse ponto
significa que o valor de "x" é igual a 4/5, e "y" é igual a zero,
o que deve satisfazer essa equação. Vamos substituir pelos números.
"y = 0" quando "x = 4/5": "0 = -1‧(4/5) + b"
(vou abaixar um pouquinho). A gente tem que "0 = (-4/5) + b". Dá para adicionar 4/5 aos dois lados da
equação, então vamos adicionar 4/5 aqui e também pode adicionar 4/5 aqui. O motivo pelo qual fiz isso é para
cancelar os dois fatores; tem que "b = 4/5". Pronto, agora tem a equação da reta. "y" é igual a -1 vezes "x" (que escrevemos
como "-x") mais "b", que é 4/5. Agora, temos essa aqui. A reta contém o ponto (2, 6) e (5, 0). Eles não informam o coeficiente angular
ou a interceptação de "y" de forma clara, no entanto, a gente pode descobrir
os dois com base nessas coordenadas. A primeira coisa que podemos fazer
é descobrir o coeficiente angular. Sabemos que o coeficiente angular "m" é igual à diferença em "y" sobre a diferença em "x", que é igual a... qual é a diferença em "y"? Vamos começar com essa aqui.
Fazemos "6 - 0". Vou fazer desse modo: é 6...
(vou codificar em cores)... menos zero. Assim, "6 - 0" é a nossa diferença em "y".
Nossa diferença em "x" é "2 - 5". O motivo pelo qual codifiquei com cores é porque queria mostrar para você quando usei esse termo "y" primeiro, usei este 6, e tenho que usar esse termo "x" primeiro também, queria mostrar que esta é a coordenada (2, 6), e essa é a coordenada (5, 0). Não poderia trocar o 2
e 5 lá, senão teria obtido o oposto da resposta. Mas o que obtivemos aqui?
Isso é igual a... "6 - 0" é 6, "2 - 5" é -3... isso se torna -6/3,
que é a mesma coisa que -2. Portanto, esse é nosso coeficiente angular,
até agora sabemos que a reta deve ser "y" é igual ao coeficiente angular... (vou fazer em laranja)... -2 vezes "x" mais nossa interceptação de "y". Agora, dá para fazer exatamente a mesma
coisa que fizemos no último problema; a gente pode usar um
desses pontos para resolver "b". Podemos usar qualquer um dos dois; os dois estão
na reta, então, os dois devem satisfazer a equação. Vou usar (5, 0) porque é sempre bom quando tem
um zero aqui (a matemática é um pouco mais fácil). Vamos colocar o (5, 0) aqui.
"y" é igual a zero quando "x" for igual a 5. Então, "y" é igual a zero quando tem "-2‧(5)"...
quando "5x = 5 + b". Tem, então, que "0 = -10 + b". Se adicionar 10 aos dois lados, esses dois se cancelam, obtemos que "b" é
igual a "10 + 0" ou 10. Então, tem que "b = 10". Agora, sabemos a equação para a reta.
A equação é "y"... (vou usar outra cor)... "y" é igual a "-2x" mais b (mais 10). Terminamos.
Vamos fazer mais um. Muito bem. A reta contém os pontos (3, 5) e (-3, 0). Como no último problema, começamos descobrindo
o coeficiente angular, que chamaremos de "m". É a mesma coisa que a elevação sobre distância,
que é a mesma coisa que a diferença em "y" sobre a diferença em "x". Se estivesse fazendo como lição de
casa, não teria que escrever tudo isso; só quero ter certeza de que entenda
que todas elas são a mesma coisa. Qual é a nossa diferença em "y" sobre
nossa diferença em "x"? Ela é igual a...? Vamos começar desse lado, apenas para mostrar
que dá para pegar qualquer um desses pontos. Digamos que é "0 - 5" (desse jeito). Assim, eu estou usando essa coordenada primeiro. Estou considerando que ela é o ponto final. Lembre-se que da primeira vez que aprendemos
isso a gente tendia a colocar o "x" no numerador. Não! Usamos os "y" no numerador. Essa é a segunda das coordenadas. Ela será sobre "-3 - 3". Essa é a coordenada (-3, 0); essa é a coordenada (3, 5).
Vamos subtrair. E o que vamos obter?
Isso será igual a... (vou escrever com uma cor neutra)... igual ao numerador. É -5 sobre... "-3 - 3" é -6... os sinais
negativos se cancelam, e obtemos 5/6. Assim, a gente sabe que a equação
será na forma de "y = 5/6(x) + b". Agora, dá para substituir uma dessas coordenadas
para calcular o valor de "b". Vamos lá. Sempre gosto de usar aquela que contém zero;
"y" é zero quando "x" for -3... mais "b"... tudo o que eu fiz foi
substituir -3 por "x", zero por "y". Sei que posso fazer
porque isso está na reta, isso deve satisfazer a equação
da reta. Vamos fazer para o "b". Assim tem que zero é igual a... bom, se a gente dividir -3 por 3, obtemos -1.
Se dividir 6 por 3, obtemos 2. Ele se torna -5... -5/2 (sobre 2) mais "b". A gente
poderia adicionar 5/2 aos dois lados da equação (mais 5/2; mais 5/2). Gostaria de variar a notação para
que se familiarizem com as duas. Então, a equação fica 5/2 é igual a... isso é um zero...
é igual a "b"... "b" é 5/2. A equação da nossa reta é: "y" é igual a "5/6(x)" mais b (que já vimos que é 5/2)... mais 5/2. Terminamos. Vamos fazer outro. Tem um gráfico aqui.
Vamos descobrir a equação deste gráfico. Na verdade, de alguma forma,
esse é um pouco mais fácil. Qual é o coeficiente angular? O coeficiente angular
é a diferença em "y" sobre a diferença em "x". Quando movemos em "x", quando a nossa diferença em "x" é 1 (então, essa é a nossa diferença em "x", assim, a diferença em "x" é 1; apenas estou decidindo modificar
meu "x" por 1, incrementar por 1), qual é a diferença em "y"? Parece
que a diferença em "y" é exatamente 4. Parece que meu "Δy" (minha diferença em "y")
é igual a 4 quando o meu "Δx" for igual a 1; então, a diferença em "y"
sobre a diferença em "x"... a diferença em "y" é 4 quando a diferença
em "x" for 1, o coeficiente angular é igual a 4. Qual é minha interceptação de "y"? Precisamos apenas olhar para o gráfico. Parece
que a interceptação do eixo "y", em "y", é igual a -6, ou no ponto (0, -6). Assim,
a gente sabe que "b = -6". Portanto, sabemos a equação da reta; a equação
da reta é "y" é igual ao coeficiente angular vezes "x" mais a interceptação de "y". É melhor anotar isso.
Então, -6... é mais -6... de forma que
essa é a equação da nossa reta. Mais um?
Vamos lá. Eles nos dizem que o f(1,5) é -3,
e o f(-1) é 2. O que é isso? Isso é apenas um jeito sofisticado de
dizer para vocês que o ponto onde "x" é "1,5" (quando substitui "1,5" na função),
a função tem valor numérico -3. Então, isso nos diz que a coordenada
"x" é igual a "1,5", e "y" é igual a -3. E isso nos diz que, o ponto,
quando "x" é -1, o f(x) é igual a 2. Essa é apenas uma maneira sofisticada de dizer que esses dois pontos estão na reta (nada incomum). Eu acho que a intenção desse problema
é familiarizar com a notação de função, para que não fique intimidado
quando encontrar esse tipo de coisa. Se avaliar a função em "1,5", vai ter -3;
essa é a coordenada se imaginar que "y = f(x)". Assim, essa seria a coordenada "y",
ela seria igual a -3 quando "x" é "1,5", de qualquer modo, já disse várias vezes. Vamos descobrir o
coeficiente angular dessa reta, que é a diferença em "y" sobre
a diferença em "x", que é igual a... vamos começar com 2 menos
esse aqui, -3 (eles são os valores de "y"); todos eles sobre -1 menos esse aqui... vou escrever desse modo... -1 menos esse carinha aqui... menos "1,5". Vou fazer colorido porque eu quero mostrar
que os dois (o -1 e o 2) estão vindo daqui, por isso uso os dois primeiro. Se eu usasse esses primeiro,
teria que usar o "x" e o "y" primeiro. Se eu usar o 2 primeiro, tenho que usar o -1 primeiro;
por isso é que eu estou codificando em cores. Isso vai ser igual "2 - (-3)" (isso é a
mesma coisa que "2 + 3"), isso é 5. "-1 - 1,5" é "-2,5". 5 dividido por "-2,5" é igual a -2.
O coeficiente angular dessa reta é -2. Na verdade, vou fazer um desvio para mostrar
que, não importa a ordem que eu faça, se eu usar essa coordenada primeiro,
preciso usar aquela coordenada primeiro. Vamos fazer do outro jeito. Se eu fizesse como "-3 - 2" sobre "1,5 - (-1)", isso seria menos o 2
sobre "1,5" menos o -1. Isso me dará a mesma resposta.
Isso é igual a quê? "-3 - 2" é -5, sobre "1,5 - (-1)" ( isso é "1,5 + 1")... isto sobre "2,5".
Mais uma vez, é igual a -2. Portanto, só queria mostrar que não importa
qual deles escolhem como ponto inicial ou final desde que sejam consistentes. Se esse for o "y" inicial, esse será o "x" inicial;
se esse for o "y" final, esse será o "x" final. Sabemos que o coeficiente angular é -2. Assim, a gente sabe que a equação
é "y = -2x + alguma interceptação de y". Vamos usar uma dessas coordenadas. Vou usar essa aqui, já que ela não tem
nenhum decimal. Sabemos que "y" é igual a 2. "y" é igual a 2 quando
"x" for igual a -1, Ainda tem nosso mais "b"; então, 2 é igual a...
"-2‧(-1)" é 2... mais "b". Se subtrair 2 dos dois lados da equação
(menos 2, menos 2), estaremos subtraindo 2 dos dois lados da equação, obteremos que o zero no lado esquerdo é igual a "b". "b" é zero. A equação da nossa reta é: "y = -2x". Na verdade, se quisesse escrever
na notação de função, ela seria "f(x) = -2x". Só presumi
que "y = f(x)", mas esta é a equação. Eles nunca mencionaram "y" aqui, de forma que poderíamos apenas
escrever que f(x) é igual ao "2x" aqui. Cada uma dessas coordenadas
é a coordenada de "x" e f(x). Assim, dá até para considerar
a definição do coeficiente angular como a diferença em f(x)
sobre a diferença em "x". Essas são formas equivalentes
de visualizar a mesma coisa.