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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20

Lição 5: Soma e subtração de matrizes
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Matrizes
Soma e subtração de matrizes
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Soma e subtração de matrizes

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Aprenda a encontrar o resultado das operações de soma e subtração de matrizes.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

Uma matriz é um conjunto retangular de números organizados em linhas e colunas. Cada número de uma matriz leva o nome de elemento ou entrada.
3 colunas2 linhas↓↓↓→→[−255267]\begin{array}{c} \goldE{\text{3 colunas}} \\\\ \begin{array}{c} \blueE{\text{2 linhas}}&\goldE{\LARGE\downarrow}&\goldE{\LARGE\downarrow}&\goldE{\LARGE\downarrow} \\\\ \begin{array}{c} \blueE{\LARGE\rightarrow} \\\\ \blueE{\LARGE\rightarrow}\end{array} &\left[\begin{array}{c} -2 \\\\ 5\end{array}\right. &\begin{array}{c}5 \\\\ 2\end{array} &\left.\begin{array}{c}6 \\\\ 7\end{array}\right] \end{array} \end{array}
As dimensões de uma matriz determinam, respectivamente, o número de linhas e colunas. Como a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, é chamada de matriz 2, times, 3.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes.

O que você vai aprender nessa lição

Desde que as dimensões de duas matrizes sejam iguais, podemos somá-las e subtraí-las da mesma maneira que somamos e subtraímos números. Vamos dar uma olhada!

Soma de matrizes

Dadas as matrizes A=[4837]\bold A=\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 3 & 7 \end{array}\right] e B=[1052]\bold B=\left[\begin{array}{c} 1 &0 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right], vamos calcular A, plus, B.
Podemos calcular a soma simplesmente somando os elementos correspondentes nas matrizes A e B, conforme demonstrado abaixo.
A+B=[4837]+[1052]=[4+18+03+57+2]=[5889]\begin{aligned} \bold A+\bold B &= \left[\begin{array}{c} \blueE{4} &\blueE{8} \\\\ \blueE{3} & \blueE{7} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \goldE{1} &\goldE{0} \\\\ \goldE{5} & \goldE{2} \end{array}\right] \\\\ &= \left[\begin{array}{c} \blueE{4}+\goldE{1} &\blueE{8}+\goldE{0} \\\\ \blueE{3}+\goldE{5} & \blueE{7}+\goldE{2} \end{array}\right] \\\\ &= \left[\begin{array}{c} 5 &8 \\\\ 8 & 9 \end{array}\right] \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1
A=[520119]\bold A=\left[\begin{array}{c} 5 &2 \\\\ 0& 1 \\\\ 1 & 9 \end{array}\right] e B=[234102]\bold B=\left[\begin{array}{c} 2 &3 \\\\ 4& 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right].
A, plus, B, equals

Problema 2
Some.
[−1012−63]+[−14227]=\left[\begin{array}{c} -10 &12 \\\\ -6& 3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} -1 &4 \\\\ 22& 7 \end{array}\right]=

Subtração de matrizes

Da mesma forma, para subtrair matrizes, subtraímos os elementos correspondentes.
Por exemplo, vamos considerar C=[2809]\bold C=\left[\begin{array}{c} 2 &8 \\\\ 0 & 9 \end{array}\right] e D=[56113]\bold D=\left[\begin{array}{c} 5 &6 \\\\ 11 & 3 \end{array}\right].
Podemos calcular C, minus, D subtraindo os elementos correspondentes nas matrizes C e D, conforme demonstrado abaixo.
C−D=[2809]−[56113]=[2−58−60−119−3]=[−32−116]\begin{aligned} \bold C-\bold D&=\left[\begin{array}{c} \blueE{2} &\blueE{8} \\\\ \blueE{0}& \blueE{9} \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} \goldE{5} &\goldE{6} \\\\ \goldE{11} & \goldE{3} \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} \blueE{2}-\goldE{5} &\blueE{8}-\goldE{6} \\\\ \blueE{0}-\goldE{11} &\blueE{9}-\goldE{3} \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} -3 &2 \\\\ -11 & 6 \end{array}\right] \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 3
X=[4161022]\bold X=\left[\begin{array}{c} 4 &16 \\\\ 10& 22 \end{array}\right] e Y=[11563]\bold Y=\left[\begin{array}{c} 1 &15 \\\\ 6& 3 \end{array}\right].
X, minus, Y, equals

Problema 4
Subtraia.
[349686734]−[167642415]=\left[\begin{array}{c} 3 & 4 & 9 \\\\ 6 & 8 & 6 \\\\ 7 & 3 & 4 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} 1 & 6 & 7 \\\\ 6 & 4 & 2 \\\\ 4 & 1 & 5 \end{array}\right]=

Multiplicação escalar como soma repetida

Suponha que queremos considerar a soma repetida de uma matriz.
Se A=[4821]\bold A=\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right], vamos calcular A, plus, A, plus, A.
=A+A+A=[4821]+[4821]+[4821]=[4+4+48+8+82+2+21+1+1]=[3⋅43⋅83⋅23⋅1]=3⋅[4821]=3A\begin{aligned} &\phantom{=}\bold A+\bold A+\bold A \\\\ &= \left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} 4+4+4 & 8+8+8 \\\\ 2+2+2 & 1+1+1 \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} \greenD{3}\cdot 4 & \greenD{3}\cdot 8 \\\\ \greenD{3}\cdot 2 & \greenD{3}\cdot 1 \end{array}\right] \\\\ &=\greenD{3}\cdot \left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right] \\\\ &=\greenD 3\bold A \end{aligned}
Aqui, vemos que A, plus, A, plus, A, equals, 3, A.
Isso se aplica para outras multiplicações escalares. Portanto, podemos interpretar a multiplicação escalar da mesma forma como interpretamos a multiplicação com números reais – como a soma repetida da matriz!

Subtração como adição do oposto

Outra forma como a multiplicação escalar está relacionada à adição e subtração é pensar em A, minus, B como A, plus, left parenthesis, minus, B, right parenthesis, o que, por sua vez, é igual a A, plus, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, B. Isso é semelhante à forma como pensamos na subtração de dois número reais!

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