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Inverter uma matriz 3x3 usando determinantes - Parte 1: matriz de menores e matriz de cofatores

Transcrição de vídeo

agora vou fazer uma das coisas que eu menos gosto de fazer a mão inverter uma matriz três por três e pode ser útil porque dá pra resolver sistemas dessa forma mas você vai ver que é melhor ser feito pelo computador pior que isso só calcular a inversa de uma matriz 4 por 41 a 35 por 5 pode levar o dia todo e provavelmente ter um erro bobo mas vamos fazer passo a passo a primeira coisa é a minha matriz três por três que vou construir a matriz dos menores complementares deixou construir essa matriz vou desenhar bem grande pra dar uma dimensão maior para encontrar a matriz dos menores complementares para cada elemento nesta matriz você elimina a sua linha e coluna correspondente e troca seu valor pelo determinante dos elementos que sobram o que sobra quando você elimina esta linha e esta coluna é 11 145 o determinante de 145 vamos continuar fazendo isso será substituído bom e deixar pensando sobre isso primeiro vai ser substituído pelo que vai ser substituído tira essa linha e esta coluna e escrevo determinante de 2 135 vamos continuar vamos fazer este elemento a gente se livrar desta linha desta coluna 21 34 este elemento vai ser substituído com o seu menor complementar então a gente se livra desta linha desta coluna é um determinante de menos 2 245 - 22 45 e tem estou tentando trocar as cores este elemento livre se da linha do meio coluna do meio sobra o determinante de -1 2 35 agora a gente move prata ficando mesmo sem cores este elemento onde seu menor complementar é vamos nos livrar desta linha desta coluna - 1 - 2 3 4 3 4 então eu vou ver eu preciso ter certeza em deixa ter certeza pra não perder o foco não quero cometer nenhum erro nesta linha esta coluna - 1 - 2 34 muito bem agora vamos mover aqui vamos nos livrar da primeira coluna última linha você tem menos 21 têm menos 22 11 isso agora vamos pra este aqui a coluna do meio linha de baixo tem menos 12 21 têm menos 12 21 e estamos chegando lá estamos olhando pra este elemento aqui elimine a última coluna a última linha sobra - 1 - 2 211 determinante de - 1 - 2 21 e daqui só tem que calcular cada um deles para obter a matriz dos menores complementares e apenas uma representação disso então vamos fazer mais uma vez a gente chega ao ponto de obter nossa matriz de menores complementares agora não preciso escrever grande porque agora têm valores numéricos eles não serão esses pequenos determinantes dois por dois qual é o determinante aqui do topo à esquerda será um v6 5 - 1 vezes 4125 menos quatro vezes um então será 5 -4 que é um qual é o determinante aqui e se determinante azul vai ser 2 vezes cinco que dez menos três vezes um então 10 - 37 enquanto é o determinante no topo à direita você tem 2 vezes 48 menos três vezes um então é 8 -3 que é 5 voltamos aqui quanto é esse determinante tem menos 2 vezes 51 é menos 10 menos quatro vezes 2 é - 10 - 8 que é menos 18 têm menos 11 vezes 5 que é - 5 - três vezes dois então é menos cinco menos seis que é menos 11 quero fazer em branco - 11 quanto será o determinante tem menos 1 vezes 4 - 4 - menos seis então é menos quatro mais seis que é mais dois quero fazer isto daquele aquele 2 positivo tem três sobrando quanto será isso menos 2 vezes um é - 2 - 1 vezes dois então é - 2 - 2 então teremos menos quatro estamos quase chegando lá - 1 vezes 1 - é - 1 - 2 vezes dois então é - 1 - 4 que é menos 5 finalmente temos menos 11 vezes um que é - 1 - 2 vezes menos dois que é menos quatro então é - 1 - 1 - 4 equivale a somar quatro então é menos 1 + 4 e vai ser 3 então é nossa verdadeira matriz de menores complementares dali obtemos nossa matriz de com fatores dá pra ter nossa matriz de com fatores lembrando um modelo de xadrez então um modelo de xadrez nos dispositivo negativo positivo negativo positivo negativo positivo negativo positivo é um pouco auto explicativo do porque é chamado de xadrez se considerar esses sinais nesta matriz de menores complementares obtemos nossa matriz de com fatores vamos preparar nossa matriz de com fatores aqui este é nosso com o fator muita terminologia né mas espero que esteja fazendo um pouco de sentido para você nossa matriz de com fatores apenas têm esses sinais para esses valores para a matriz de menores complementares o número 1 terá aplicado um sinal de positivo a ele ainda será um positivo você terá sete máster a um sinal negativo aplicado a ele será menos 7 e tem 55 positivo os cinco já é positivo você multiplica isso vezes um positivo será positivo e tem menos 18 mas aí tem que multiplicar lo por menos um então obtém 18 positivo tem menos 11 multiplica isso vezes um positivo ainda tem menos 11 você tem dois positivo multiplica por menos 1 e terá menos dois então tem menos 4 x 1 positivo ainda é menos quatro têm menos 5 quanto será isso na matriz de com fatores pega menos cinco multiplica por menos 1 e terá cinco positivo finalmente tem três multiplica por um positivo ainda terá três então chegamos longe na nossa jornada uma que não necessariamente gosto de fazer de encontrar o inverso para a nossa matriz e com fatores agora só tem que pegar esse determinante e multiplicar vezes 1 sobre o determinante e terminamos descobrimos a matriz inversa de c