Inverter uma matriz 3x3 usando determinantes - Parte 1: matriz de menores e matriz de cofatores

RKAEMC Agora vou fazer uma das coisas que eu menos gosto de fazer a mão. Inverter uma matriz 3x3. E pode ser útil, porque dá para resolver sistemas dessa forma. Mas você vai ver que é melhor ser feito pelo computador. Pior que isso, só calcular a inversa de uma matriz 4x4, ou uma matriz 5x5. Pode levar o dia todo e, provavelmente, ter um erro bobo, mas vamos fazer passo a passo. A primeira coisa é a minha matriz 3x3 que vou construir. A matriz dos menores complementares. Deixa eu construir essa matriz. Vou desenhar bem grande para dar uma dimensão maior. Para encontrar a matriz dos menores complementares. Para cada elemento nesta matriz, você elimina a sua linha e coluna correspondente. E troca seu valor pelo determinante dos elementos que sobram. O que sobra quando você elimina esta linha e esta coluna é: 1, 1, 4, 5. O determinante de 1, 1, 4, 5. Vamos continuar fazendo. Isto será substituído. Bom, irei deixar pensando sobre isso primeiro. Vai ser substituído pelo quê? Vai ser substituído. Tira esta linha e esta coluna e escrevo o determinante de 2, 1, 3, 5. Vamos continuar. Vamos fazer este elemento. A gente se livra desta linha, desta coluna... 2, 1, 3, 4. Este elemento vai ser substituído com o seu menor complementar. Então a gente se livra desta linha, desta coluna. O determinante de -2, 2, 4, 5. - 2, 2, 4, 5. E tem... Estou tentando trocar as cores. Este elemento, livre-se da linha do meio, coluna do meio, sobra o determinante de -1, 2, 3, 5. Agora, a gente move para... Estou ficando mesmo sem cores... Este elemento onde seu menor complementar é... Vamos nos livrar desta linha, e desta coluna. -1, -2, 3, 4, 3, 4. Então, eu vou ver... Eu preciso ter certeza. Deixa eu ter certeza para não perder o foco. Eu não quero cometer nenhum erro. Esta linha, esta coluna. - 1, -2, 3, 4. Muito bem. Agora, vamos mover aqui. Vamos nos livrar da primeira coluna, última linha. Você tem -2, 1, 1... Tem -2, 2, 1, 1. Isso! Agora, vamos pra este aqui, a coluna do meio. Linha de baixo tem -1, 2, 2, 1 Tem -1, 2, 2, 1. E, estamos chegando lá. Estamos olhando para este elemento aqui. Elimine a última coluna, a última linha, sobra -1, -2, 2, 1. O determinante de -1, -2, 2, 1. E daqui só tem que calcular cada um deles para obter a matriz dos menores complementares. Isso é e apenas uma representação disso. Então, vamos fazer. Mais uma vez, a gente chega ao ponto de obter nossa matriz de menores complementares. Agora não preciso escrever grande, porque agora tem valores numéricos. Eles não serão esses pequenos determinantes 2x2. Qual é o determinante aqui, do topo à esquerda? Será (1 × 5) - (1 × 4). 1 × 5, -4 × 1, então será 5 - 4 que é 1. Qual é o determinante aqui? Esse determinante azul? Vai ser 2 × 5, que é 10. - 3 × 1. Então, 10 - 3 = 7. Quanto é o determinante no topo à direita? Você tem 2 × 4 = 8. -3 × 1. Então, é 8 - 3 que é 5. Voltamos aqui. Quanto é esse determinante? Tem -2 × 5 = -10. -4 × 2. É -10 - 8, que é -18. Tem -1 × 5 = - 5 -3 × 2. Então é - 5 - 6 que é -11. Quero fazer em branco. - 11. Quanto será o determinante? Tem -1 × 4 = -4 menos -6. Então é -4 + 6, que é +2. Quero fazer isto daquele. Aquele 2 positivo. Tem 3 sobrando. Quanto será isso? -2 × 1 = -2. -1 × 2. Então, é - 2, - 2. Então, teremos -4. Estamos quase chegando lá. -1 × 1 -2 × 2, então é, - 1 - 4 que é -5. Finalmente temos -1 × 1, que é -1. - 2 × (- 2), que é -4. Então é (- 1) - (- 4), e equivale a somar 4. Então, é - 1 + 4, e vai ser 3. Então, é nossa verdadeira matriz de menores complementares. Dali, obtemos nossa matriz de cofatores. Dá para ter nossa matriz de cofatores, lembrando um modelo de xadrez. Então, um modelo de xadrez nos diz: positivo, negativo, positivo, negativo, positivo, negativo, positivo, negativo positivo. É um pouco autoexplicativo do porque é chamado de xadrez. Se considerar esses sinais nesta matriz de menores complementares, obtemos nossa matriz de cofatores. Vamos preparar nossa matriz de cofatores aqui. Este é nosso cofator. Muita terminologia, né? Mas espero que esteja fazendo um pouco de sentido para você. Nossa matriz de cofatores, apenas tem esses sinais para esses valores para a matriz de menores complementares. O número 1 terá aplicado um sinal de positivo a ele, ainda será 1 positivo. Você terá 7, mas terá um sinal negativo aplicado a ele, será -7. E tem 5. 5 positivo. O 5 já é positivo. Você multiplica isso vezes 1 positivo, será positivo. E tem -18, mas aí tem que multiplicá-lo por -1. Então, obtém 18 positivo. Tem -11, multiplica isso vezes 1 positivo, e ainda tem -11. Você tem 2 positivo, multiplica por -1 e terá -2. Então, tem -4, multiplica por 1 positivo, ainda é -4. Tem -5. Quanto será isso na matriz de cofatores? Pega o -5, multiplica por -1 e terá: 5 positivo. Finalmente, tem 3, multiplica por 1 positivo, ainda terá 3. Então chegamos longe na nossa jornada. Uma que não necessariamente gosto de fazer, de encontrar o inverso para a nossa matriz e cofatores. Agora só tem que pegar esse determinante e multiplicar vezes 1 sobre o determinante, e terminamos. Descobrimos a matriz inversa de "c".