Inverter uma matriz 3x3 usando a eliminação de Gauss

RKA3JV - Agora eu vou mostrar para vocês a minha maneira preferida de encontrar uma matriz inversa 3x3. Eu acho esta forma mais divertida, e acho que você fica menos propenso a cometer erros por descuidos. Se eu me lembro de Álgebra 2, eles não me ensinaram desta forma em Álgebra 2. E é por isso que eu vou ensinar inicialmente esta outra maneira. Vamos começar, então. Em um vídeo futuro, eu vou mostrar por que ela funciona, isso é sempre importante. Mas em Álgebra Linear, isso é um dos pouco assuntos em que eu acho que é muito importante você aprender a como fazer as operações primeiro e depois aprender o porquê. Porque é uma forma muito mecânica, que envolve um pouco de aritmética básica na sua maior parte. Mas o porquê tende a ser bastante profundo, então eu vou deixar essa explicação para vídeos posteriores. Você pode frequentemente pensar sobre a profundidade destas coisas quando você tiver certeza que entendeu estes porquês. De qualquer forma, vamos voltar à nossa matriz original, que foi a matriz que fizemos no nosso último vídeo. Era [1, 0, 1], [0, 2, 1] e [1, 1, 1]. E o que nós queremos é encontrar o inverso desta matriz. Então, este método que vamos usar se chama Eliminação de Gauss-Jordan para encontrar uma matriz inversa. E a maneira como vamos fazer, pode parecer um pouco como mágica ou algum tipo de voodoo. Mas eu acredito que você verá nos vídeos futuros que faz muito sentido. O que nós vamos fazer é aumentar esta matriz aqui. O que significa aumentá-la? Quer dizer apenas que vamos adicionar algo a ela. Então, vamos traçar uma linha divisória. Eu vou colocar a linha divisória bem aqui. Eu vou colocar uma linha divisória bem aqui. E o que eu vou colocar do outro lado desta linha divisória? Eu vou colocar uma matriz identidade de mesmo tamanho que esta matriz aqui. Então, se esta matriz é uma matriz 3x3, eu vou colocar uma matriz identidade deste lado também 3x3. Então, vai ficar assim: [1, 0, 0], [0, 1, 0] e [0, 0, 1]. Tudo certo! Agora, o que vamos fazer? O que eu vou fazer é realizar uma série de operações elementares com linhas, e vou te dizer que estas operações elementares são todas válidas para esta matriz aqui. Mas o que quer que eu faça para as linhas desta matriz aqui, eu vou ter que fazer para as linhas correspondentes. E o meu objetivo é realizar uma série de operações do lado esquerdo. E claro que estas mesmas operações também serão aplicadas no lado direito, para que eu possa ter a matriz identidade deste lado esquerdo aqui. E quando eu tiver esta matriz identidade no lado esquerdo, o que estará no lado direito será a matriz inversa da matriz original. Quando isso se torna uma matriz identidade, ela é chamada de forma escalonada reduzida por linha. E eu vou falar mais sobre isso. Há vários nomes e rótulos em Álgebra Linear, mas os conceitos são realmente simples. De qualquer maneira, vamos começar e isto deve ficar um pouco mais claro, pelo menos o processo vai ficar mais evidente, talvez não o porquê de ele funcionar. Então, em primeiro lugar, eu disse que ia fazer um monte de operações aqui. E o que são essas operações legítimas? Elas são chamadas de operações elementares de linha, e há uma série de operações casadas que eu posso fazer. Eu posso, por exemplo, substituir qualquer linha aqui pela própria linha multiplicada por um número. Eu poderia fazer isso. Eu também poderia trocar quaisquer duas linhas desta matriz. Claro que se, por exemplo, eu resolvi trocar a primeira linha com a segunda linha, eu também vou trocar este lado daqui. Eu também posso adicionar ou subtrair uma linha de outra linha. Então, por exemplo, se eu resolver tomar esta linha, eu posso substituí-la por esta linha adicionada a esta linha. Você sabe, você pode combiná-lo. Você poderia dizer, por exemplo, que eu posso multiplicar esta linha aqui por -1 e adicioná-la a esta linha, depois substituir esta linha pelo resultado final da combinação. Bem, se você perceber que isso é algo parecido com o que você aprendeu quando aprendeu a resolver sistemas de equações lineares, isso não é nenhuma coincidência, porque matrizes é uma ótima maneira de representar isso. Eu vou te mostrar isso em breve. Então, vamos fazer aqui algumas operações elementares com linhas para obter este lado esquerdo em forma reduzida escalonada, que é uma maneira elegante de dizer que a gente vai torná-lo uma matriz identidade. Vamos ver, então, o que nós queremos fazer. O que a gente quer é tornar toda esta diagonal ou todos os outros elementos zero. Então, vamos ver como a gente pode fazer isso de forma eficiente. Deixe-me, então, eu desenhar a minha matriz aqui novamente. Vamos obter um zero bem aqui, até porque seria bem conveniente. Eu vou manter estas minhas duas linhas superiores, então vai continuar sendo [1, 0, 1]. Eu vou continuar tendo a minha linha divisória bem aqui. Aí, eu vou ter [1, 0, 0]. A minha segunda linha, esta aqui, nada mudou, eu vou escrever [0, 2, 1] e [0, 1, 0]. E o que eu quero fazer agora é substituir esta linha. E você sabe qual é o meu objetivo, é obter um zero aqui e ficar o mais perto possível de uma matriz identidade deste lado aqui. Então, como eu posso obter este zero aqui? O que eu poderia fazer é substituir esta linha por esta linha, menos esta aqui. Ou seja, eu quero pegar a terceira linha e substituir pela terceira linha menos a primeira linha. Vamos ver o resultado, então, da terceira menos a primeira linha. Eu vou ter 1 − 1 = 0, 1 − 0 = 1 e 1 − 1 = 0. Deste lado aqui eu tenho que fazer a mesma coisa, o que eu fiz para o lado esquerdo, eu tenho que fazer para o direito. Então, vai ficar 0 − 1 = −1, 0 − 0 = 0 e 1 − 0 = 1. Agora, o que eu posso fazer? Bem, esta terceira linha tem os elementos [0, 1, 0], que é exatamente o que eu quero para a minha segunda linha da matriz identidade. Então, talvez eu possa trocar. Por que não trocar esta segunda linha por esta terceira linha? Eu vou fazer isso. Vamos escrever novamente a nossa matriz aqui e o que eu vou fazer é colocar, a primeira linha vai permanecer como está, [1, 0, 1]. Minha linha divisória, [1, 0, 0]. E a minha terceira linha vai virar a minha segunda. Então, eu vou escrever [0, 1, 0]. Aqui também, eu copio exatamente toda a terceira linha, [−1, 0, 1]. E agora o que eu vou fazer é trocá-la. Esta minha segunda linha vai virar a terceira linha, então eu vou ter [0, 2, 1] e [0, 1, 0]. E o que nós fizemos foi trocar a terceira linha e a segunda linha. Tudo ok até agora. O que eu o quero fazer, então? Seria bom se eu tivesse zero aqui, porque me deixaria ainda mais perto da matriz identidade. Então, como eu poderia obter este zero aqui? Olha só, o que aconteceria se eu subtraísse da terceira linha, duas vezes a segunda linha? Porque exatamente aqui eu teria 2 − 2 vezes 1, que também dá 2, e 2 - 2 = 0. Então, vamos fazer isso. A primeira linha até agora teve bastante sorte, porque nós não tocamos nela até agora, apenas repetimos. E isso vai continuar acontecendo, eu vou repetir a primeira linha [1, 0, 1], aqui é a minha linha divisória [1, 0, 0], a segunda linha também não vai sofrer mudança alguma, vai ficar [0, 1, 0], [-1, 0, 1]. Já a terceira linha, nós vamos ao que eu disse que ia fazer. Vamos pegar a terceira linha e subtrair do dobro da segunda. Então, vai ficar zero menos 2 vezes zero = zero. Aqui vamos ter 2 menos 2 vezes 1, 2 - 2 = 0, 1 menos 2 vezes zero é zero. 1 - 0 = 1. Já aqui deste lado teremos zero menos 2 vezes −1. Menos 2 vezes −1 dá +2. Então, vai ficar zero e +2, então +2. 1 menos (2 vezes zero = 0), 1 − 0 = 1. E, por último, zero menos 2 vezes 1. −2 vezes 1 dá −2, 0 − 2 = −2. Bom, deixe-me confirmar se eu fiz certo. Zero menos 2 vezes −1. Menos vezes menos vai dar mais. Realmente, dá 2 positivo, está correto! Então, eu estou bem perto de transformar isso em uma matriz identidade ou uma matriz reduzida por linha escalonada. Exceto por este 1 aqui. Então, finalmente, vamos ter que mexer nesta linha superior aqui. Então, o que eu posso fazer? Bem eu posso substituir a linha superior pelo resultado da subtração da linha superior pela terceira linha, porque aí nós vamos ter nesta subtração aqui o zero que eu estou precisando. Então, vamos lá! Eu vou substituir a primeira linha pelo resultado da primeira linha menos a terceira linha. Vamos lá! 1 − 0 = 1, 0 − 0 = 0, 1 − 1 = 0. E é isso que eu estou buscando, este é o meu objetivo. E aí, 1 − 2 = −1, −1 novamente. Aqui teremos −1 novamente. E zero menos (−2) eu vou ter 2 positivo. E agora a gente vai repetir a segunda e a terceira linha, porque essas linhas não vão sofrer alterações. Então, vai ficar [0, 1, 0], [-1, 0, 1] e, por último, [0, 0, 1], [2, 1, -2]. E aí está! Realizamos uma série de operações do lado esquerdo, estas mesmas operações também fizemos do lado direito. E isto aqui se tornou a matriz identidade, que é o que nós estávamos buscando. Isto aqui se tornou a matriz identidade ou escalonada reduzida por linha. E nós fizemos isso usando a eliminação de Gauss-Jordan. E o que é isso aqui? Podemos dizer que é este lado aqui, o que ele se tornou. Isto aqui é a matriz inversa dessa matriz original. Se multiplicarmos essa matriz original por essa, nós teremos a matriz identidade. Ou seja, se nós chamarmos esta matriz original de "A", nós podemos dizer que esta aqui é a matriz inversa de "A". E isso é tudo que você tem que fazer. Como você pode ver, isto me tomou a metade da quantidade de tempo e uma matemática bem menos rigorosa do que quando eu fiz isso usado a adjunta com fatores determinantes. E se você pensar sobre isso, eu vou dar uma pequena dica do porquê isso funciona. Cada uma dessas operações que eu fiz do lado esquerdo você poderia ver como a multiplicação que você conhece. Para chegar daqui até aqui, eu multipliquei. Você poderia dizer, então, que existe uma matriz que multiplicada por essa matriz aqui teria como resultado o que eu obtive desta operação aqui. Então, eu teria que multiplicar por uma outra matriz para fazer esta operação aqui. Basicamente, o que nós fizemos foi: nós multiplicamos por uma série de matrizes para chegar daqui até aqui. E se você multiplicar todas essas matrizes, que podemos chamar de matrizes eliminadas juntas, você basicamente fez isso vezes o inverso. O que eu estou querendo dizer? Bem, se nós temos a matriz "A", para chegar daqui até aqui nós usamos a matriz de eliminação. Isto pode ser completamente confuso para você, então ignore se for, mas também pode ser bastante perspicaz. Então, o que nós eliminamos com isso? Nós eliminamos este elemento da terceira linha, primeira coluna, este elemento aqui. Nós podemos dizer que multiplicamos a matriz "A" pela matriz de eliminação E₃₁. Para chegar daqui até aqui, nós multiplicamos por uma matriz. E eu te falo mais, isso vai mostrar como podemos construir essas matrizes de eliminação. Na verdade, daqui até aqui, o que nós fizemos foi uma substituição da linha 2 pela linha 1, foi o que nós fizemos para daqui chegar até aqui. Então, a gente pode dizer que a gente multiplicou pela matriz de substituição, que trocou a linha 2 pela linha 3. E aqui, o que nós fizemos daqui até aqui? Bom, nós usamos uma matriz de eliminação? O que nós fizemos? Nós eliminamos o elemento da terceira linha e segunda coluna, este elemento aqui. Então, nós multiplicamos também pela matriz eliminação, da terceira linha e segunda coluna. E, finalmente, para chegar até aqui, nós tivemos que multiplicar por uma matriz de eliminação também para eliminar este elemento aqui da primeira linha e terceira coluna, este elemento aqui. Então, multiplicamos também por uma matriz de eliminação da primeira linha e terceira coluna. Eu quero que você saiba que não é importante quem são essas matrizes. Eu vou mostrar que podemos construir estas matrizes e eu só quero que você tenha uma espécie de fé, em que cada uma dessas operações possa ter sido feita através da multiplicação por alguma matriz. Mas o que sabemos é que quando temos a multiplicação de todas estas matrizes aqui, o que a gente vai ter, basicamente, é a matriz identidade. Assim como também nós sabemos que quando a gente tem a combinação de todas as matrizes de eliminação e de substituição aqui, o que temos é a matriz inversa. Quando nós combinamos cada uma dessas multiplicações de matriz eliminação e substituição, a gente vai ter a matriz inversa. Bem, e o que aconteceu? Se todas estas matrizes coletivamente representam a matriz inversa de "A", então significa que quando eu peguei a identidade e multipliquei por essa matriz, eu tive esta. E aí, quando eu multipliquei por essa eu obtive esta. Depois, quando eu multipliquei por essa matriz de eliminação eu obtive esta e assim por diante. Isso quer dizer que quando a gente multiplicou tudo, a gente pegou a matriz inversa de "A" e multiplicou pela identidade. Eu não quero te confundir, já está suficientemente bom se você entendeu até este ponto que eu fiz. Mas o que eu estou fazendo em todas estas etapas aqui é porque eu estou multiplicando ambos os lados dessa matriz aumentada e você poderia chamá-la de inversa. Eu multipliquei ambas essas matrizes por uma matriz inversa para conseguir chegar na matriz identidade. Mas é claro que se eu multipliquei a matriz inversa pela matriz identidade, eu terei a matriz inversa. Mas, de qualquer forma, eu não quero te confundir. Eu espero que tenha te dado um pouco do caminho intuitivo. Eu vou fazer isso mais tarde com exemplos mais concretos. E eu espero que você veja isso de forma menos cabeluda do que a maneira que fizemos com a adjunta, cofatores, matrizes menores, determinantes, etc. Enfim, te vejo no próximo vídeo!