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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20
Lição 15: Determinantes e inversas de matrizes grandes- Determinante de uma matriz 3x3: método padrão (1 de 2)
- Determinante de uma matriz 3x3: método atalho (2 de 2)
- Determinante de uma matriz 3x3
- Inverter uma matriz 3x3 usando a eliminação de Gauss
- Inverter uma matriz 3x3 usando determinantes - Parte 1: matriz de menores e matriz de cofatores
- Inverter uma matriz 3x3 usando determinantes - Parte 2: matriz adjunta
- Matriz inversa de uma matriz 3x3
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Inverter uma matriz 3x3 usando a eliminação de Gauss
Neste vídeo, explicamos como podemos encontrar a inversa de uma matriz 3x3 usando a eliminação de Gauss. Versão original criada por Sal Khan.
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- Existe uma preferência ou passos específicos para utilizar método de Gauss? Pois quando eu quero obter a identidade sempre tenho a impressão de não estar utilizando o método mais prático. Da forma que foi explicada parece ser um processo bem arbitrário em que posso realizar as operações que eu quiser, confuso...(1 voto)
- Esse método de Gaus é bem confuso. Pode ser que mais pra frente eu consiga entender, com um pouco mais de dedicação e pratica, mas nesse vídeo, confesso que não entendi muita coisa(3 votos)
- Extremamente confuso...a não ser que vc já conheça esse método, acho bem difícil entender algo vendo esse vídeo(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Agora eu vou
mostrar para vocês a minha maneira preferida de
encontrar uma matriz inversa 3x3. Eu acho esta forma
mais divertida, e acho que você fica menos propenso
a cometer erros por descuidos. Se eu me lembro de Álgebra 2, eles não me ensinaram
desta forma em Álgebra 2. E é por isso que eu vou ensinar
inicialmente esta outra maneira. Vamos começar, então. Em um vídeo futuro, eu vou
mostrar por que ela funciona, isso é sempre importante. Mas em Álgebra Linear,
isso é um dos pouco assuntos em que eu acho que é muito importante você aprender a como fazer as operações
primeiro e depois aprender o porquê. Porque é uma forma muito mecânica, que envolve um pouco de aritmética
básica na sua maior parte. Mas o porquê tende
a ser bastante profundo, então eu vou deixar essa explicação
para vídeos posteriores. Você pode frequentemente pensar
sobre a profundidade destas coisas quando você tiver certeza
que entendeu estes porquês. De qualquer forma, vamos
voltar à nossa matriz original, que foi a matriz que fizemos
no nosso último vídeo. Era [1, 0, 1],
[0, 2, 1] e [1, 1, 1]. E o que nós queremos
é encontrar o inverso desta matriz. Então, este método que vamos usar
se chama Eliminação de Gauss-Jordan para encontrar uma matriz inversa. E a maneira como vamos fazer,
pode parecer um pouco como mágica ou algum tipo de voodoo. Mas eu acredito que você verá nos
vídeos futuros que faz muito sentido. O que nós vamos fazer
é aumentar esta matriz aqui. O que significa aumentá-la? Quer dizer apenas que
vamos adicionar algo a ela. Então, vamos traçar
uma linha divisória. Eu vou colocar a linha
divisória bem aqui. Eu vou colocar uma linha
divisória bem aqui. E o que eu vou colocar do
outro lado desta linha divisória? Eu vou colocar uma matriz identidade
de mesmo tamanho que esta matriz aqui. Então, se esta matriz é uma matriz 3x3,
eu vou colocar uma matriz identidade deste lado também 3x3. Então, vai ficar assim:
[1, 0, 0], [0, 1, 0] e [0, 0, 1]. Tudo certo!
Agora, o que vamos fazer? O que eu vou fazer é realizar uma
série de operações elementares com linhas, e vou te dizer que estas
operações elementares são todas válidas
para esta matriz aqui. Mas o que quer que eu faça para
as linhas desta matriz aqui, eu vou ter que fazer para
as linhas correspondentes. E o meu objetivo é realizar uma série
de operações do lado esquerdo. E claro que estas mesmas operações
também serão aplicadas no lado direito, para que eu possa ter a matriz
identidade deste lado esquerdo aqui. E quando eu tiver esta matriz
identidade no lado esquerdo, o que estará no lado direito será
a matriz inversa da matriz original. Quando isso se torna
uma matriz identidade, ela é chamada de forma
escalonada reduzida por linha. E eu vou falar mais sobre isso. Há vários nomes e rótulos
em Álgebra Linear, mas os conceitos são
realmente simples. De qualquer maneira,
vamos começar e isto deve ficar um
pouco mais claro, pelo menos o processo
vai ficar mais evidente, talvez não o porquê
de ele funcionar. Então, em primeiro lugar, eu disse que
ia fazer um monte de operações aqui. E o que são essas
operações legítimas? Elas são chamadas de operações
elementares de linha, e há uma série de operações
casadas que eu posso fazer. Eu posso, por exemplo,
substituir qualquer linha aqui pela própria linha multiplicada
por um número. Eu poderia fazer isso. Eu também poderia trocar
quaisquer duas linhas desta matriz. Claro que se, por exemplo,
eu resolvi trocar a primeira linha com
a segunda linha, eu também vou trocar
este lado daqui. Eu também posso adicionar ou subtrair
uma linha de outra linha. Então, por exemplo,
se eu resolver tomar esta linha, eu posso substituí-la
por esta linha adicionada a esta linha. Você sabe, você
pode combiná-lo. Você poderia dizer, por exemplo, que eu
posso multiplicar esta linha aqui por -1 e adicioná-la a esta linha, depois substituir esta linha pelo
resultado final da combinação. Bem, se você perceber
que isso é algo parecido com o que você aprendeu
quando aprendeu a resolver sistemas
de equações lineares, isso não é nenhuma coincidência, porque matrizes é uma ótima
maneira de representar isso. Eu vou te mostrar
isso em breve. Então, vamos fazer aqui algumas
operações elementares com linhas para obter este lado esquerdo
em forma reduzida escalonada, que é uma maneira
elegante de dizer que a gente vai torná-lo
uma matriz identidade. Vamos ver, então, o que
nós queremos fazer. O que a gente quer é tornar
toda esta diagonal ou todos os outros
elementos zero. Então, vamos ver como a gente
pode fazer isso de forma eficiente. Deixe-me, então, eu desenhar
a minha matriz aqui novamente. Vamos obter um zero bem aqui,
até porque seria bem conveniente. Eu vou manter estas minhas
duas linhas superiores, então vai continuar
sendo [1, 0, 1]. Eu vou continuar tendo a minha
linha divisória bem aqui. Aí, eu vou ter [1, 0, 0]. A minha segunda linha,
esta aqui, nada mudou, eu vou escrever
[0, 2, 1] e [0, 1, 0]. E o que eu quero fazer agora
é substituir esta linha. E você sabe qual é
o meu objetivo, é obter um zero aqui e ficar
o mais perto possível de uma matriz identidade
deste lado aqui. Então, como eu posso
obter este zero aqui? O que eu poderia
fazer é substituir esta linha por esta linha,
menos esta aqui. Ou seja, eu quero pegar
a terceira linha e substituir pela terceira linha
menos a primeira linha. Vamos ver o resultado, então, da terceira
menos a primeira linha. Eu vou ter
1 − 1 = 0, 1 − 0 = 1
e 1 − 1 = 0. Deste lado aqui eu tenho
que fazer a mesma coisa, o que eu fiz para o lado esquerdo,
eu tenho que fazer para o direito. Então, vai ficar
0 − 1 = −1, 0 − 0 = 0
e 1 − 0 = 1. Agora, o que eu posso fazer? Bem, esta terceira linha
tem os elementos [0, 1, 0], que é exatamente
o que eu quero para a minha segunda
linha da matriz identidade. Então, talvez eu possa trocar. Por que não trocar
esta segunda linha por esta terceira linha? Eu vou fazer isso. Vamos escrever novamente
a nossa matriz aqui e o que eu vou
fazer é colocar, a primeira linha vai permanecer
como está, [1, 0, 1]. Minha linha divisória, [1, 0, 0]. E a minha terceira linha
vai virar a minha segunda. Então, eu vou escrever [0, 1, 0]. Aqui também, eu copio exatamente
toda a terceira linha, [−1, 0, 1]. E agora o que eu vou
fazer é trocá-la. Esta minha segunda linha
vai virar a terceira linha, então eu vou ter
[0, 2, 1] e [0, 1, 0]. E o que nós fizemos foi trocar a
terceira linha e a segunda linha. Tudo ok até agora.
O que eu o quero fazer, então? Seria bom se eu
tivesse zero aqui, porque me deixaria ainda
mais perto da matriz identidade. Então, como eu poderia
obter este zero aqui? Olha só, o que aconteceria se eu
subtraísse da terceira linha, duas vezes a segunda linha? Porque exatamente aqui eu teria
2 − 2 vezes 1, que também dá 2, e 2 - 2 = 0. Então, vamos fazer isso. A primeira linha até agora
teve bastante sorte, porque nós não tocamos nela
até agora, apenas repetimos. E isso vai continuar acontecendo,
eu vou repetir a primeira linha [1, 0, 1], aqui é a minha
linha divisória [1, 0, 0], a segunda linha também não
vai sofrer mudança alguma, vai ficar [0, 1, 0], [-1, 0, 1]. Já a terceira linha, nós vamos
ao que eu disse que ia fazer. Vamos pegar a terceira linha
e subtrair do dobro da segunda. Então, vai ficar zero menos
2 vezes zero = zero. Aqui vamos ter
2 menos 2 vezes 1, 2 - 2 = 0, 1 menos 2
vezes zero é zero. 1 - 0 = 1. Já aqui deste lado teremos
zero menos 2 vezes −1. Menos 2 vezes −1 dá +2. Então, vai ficar zero
e +2, então +2. 1 menos (2 vezes zero = 0), 1 − 0 = 1. E, por último, zero
menos 2 vezes 1. −2 vezes 1 dá −2, 0 − 2 = −2. Bom, deixe-me confirmar
se eu fiz certo. Zero menos 2 vezes −1.
Menos vezes menos vai dar mais. Realmente, dá 2 positivo,
está correto! Então, eu estou bem perto
de transformar isso em uma matriz identidade ou uma
matriz reduzida por linha escalonada. Exceto por este 1 aqui. Então, finalmente, vamos ter
que mexer nesta linha superior aqui. Então, o que eu posso fazer? Bem eu posso substituir
a linha superior pelo resultado da subtração
da linha superior pela terceira linha, porque aí nós vamos
ter nesta subtração aqui o zero que eu estou precisando. Então, vamos lá! Eu vou substituir
a primeira linha pelo resultado da primeira linha
menos a terceira linha. Vamos lá!
1 − 0 = 1, 0 − 0 = 0,
1 − 1 = 0. E é isso que eu estou buscando,
este é o meu objetivo. E aí, 1 − 2 = −1, −1 novamente. Aqui teremos −1
novamente. E zero menos (−2)
eu vou ter 2 positivo. E agora a gente vai repetir
a segunda e a terceira linha, porque essas linhas não
vão sofrer alterações. Então, vai ficar [0, 1, 0], [-1, 0, 1]
e, por último, [0, 0, 1], [2, 1, -2]. E aí está! Realizamos uma série de
operações do lado esquerdo, estas mesmas operações
também fizemos do lado direito. E isto aqui se tornou a matriz identidade,
que é o que nós estávamos buscando. Isto aqui se tornou a matriz identidade
ou escalonada reduzida por linha. E nós fizemos isso usando
a eliminação de Gauss-Jordan. E o que é isso aqui? Podemos dizer que é este lado
aqui, o que ele se tornou. Isto aqui é a matriz inversa
dessa matriz original. Se multiplicarmos essa matriz original
por essa, nós teremos a matriz identidade. Ou seja, se nós chamarmos
esta matriz original de "A", nós podemos dizer que esta aqui
é a matriz inversa de "A". E isso é tudo que você tem que fazer. Como você pode ver, isto me tomou
a metade da quantidade de tempo e uma matemática
bem menos rigorosa do que quando eu fiz isso usado a
adjunta com fatores determinantes. E se você pensar sobre isso, eu vou dar
uma pequena dica do porquê isso funciona. Cada uma dessas operações
que eu fiz do lado esquerdo você poderia ver como
a multiplicação que você conhece. Para chegar daqui até aqui,
eu multipliquei. Você poderia dizer, então,
que existe uma matriz que multiplicada por
essa matriz aqui teria como resultado o que
eu obtive desta operação aqui. Então, eu teria que multiplicar
por uma outra matriz para fazer esta operação aqui. Basicamente, o que
nós fizemos foi: nós multiplicamos por uma série
de matrizes para chegar daqui até aqui. E se você multiplicar
todas essas matrizes, que podemos chamar de
matrizes eliminadas juntas, você basicamente fez
isso vezes o inverso. O que eu estou
querendo dizer? Bem, se nós temos
a matriz "A", para chegar
daqui até aqui nós usamos a matriz
de eliminação. Isto pode ser completamente
confuso para você, então ignore se for, mas também
pode ser bastante perspicaz. Então, o que nós
eliminamos com isso? Nós eliminamos este
elemento da terceira linha, primeira coluna,
este elemento aqui. Nós podemos dizer que
multiplicamos a matriz "A" pela matriz
de eliminação E₃₁. Para chegar daqui até aqui,
nós multiplicamos por uma matriz. E eu te falo mais, isso vai mostrar como podemos construir
essas matrizes de eliminação. Na verdade, daqui até aqui,
o que nós fizemos foi uma substituição
da linha 2 pela linha 1, foi o que nós fizemos
para daqui chegar até aqui. Então, a gente pode dizer que a gente
multiplicou pela matriz de substituição, que trocou a linha 2 pela linha 3. E aqui, o que nós fizemos
daqui até aqui? Bom, nós usamos uma
matriz de eliminação? O que nós fizemos? Nós eliminamos o elemento
da terceira linha e segunda coluna, este elemento aqui. Então, nós multiplicamos também
pela matriz eliminação, da terceira linha
e segunda coluna. E, finalmente, para chegar até aqui, nós tivemos que multiplicar por
uma matriz de eliminação também para eliminar este elemento aqui
da primeira linha e terceira coluna, este elemento aqui. Então, multiplicamos também
por uma matriz de eliminação da primeira linha
e terceira coluna. Eu quero que você saiba que não
é importante quem são essas matrizes. Eu vou mostrar que podemos
construir estas matrizes e eu só quero que você
tenha uma espécie de fé, em que cada uma dessas
operações possa ter sido feita através da multiplicação
por alguma matriz. Mas o que sabemos é que
quando temos a multiplicação de todas estas matrizes aqui, o que a gente vai ter,
basicamente, é a matriz identidade. Assim como também
nós sabemos que quando a gente tem a combinação
de todas as matrizes de eliminação e de substituição aqui,
o que temos é a matriz inversa. Quando nós combinamos
cada uma dessas multiplicações de matriz eliminação e substituição, a gente vai ter a matriz inversa. Bem, e o que aconteceu? Se todas estas matrizes coletivamente
representam a matriz inversa de "A", então significa que quando
eu peguei a identidade e multipliquei por essa
matriz, eu tive esta. E aí, quando eu multipliquei
por essa eu obtive esta. Depois, quando eu multipliquei
por essa matriz de eliminação eu obtive esta
e assim por diante. Isso quer dizer que quando
a gente multiplicou tudo, a gente pegou
a matriz inversa de "A" e multiplicou
pela identidade. Eu não quero te confundir,
já está suficientemente bom se você entendeu até
este ponto que eu fiz. Mas o que eu estou fazendo
em todas estas etapas aqui é porque eu estou multiplicando
ambos os lados dessa matriz aumentada e você poderia chamá-la de inversa. Eu multipliquei ambas essas
matrizes por uma matriz inversa para conseguir chegar
na matriz identidade. Mas é claro que se eu
multipliquei a matriz inversa pela matriz identidade,
eu terei a matriz inversa. Mas, de qualquer forma,
eu não quero te confundir. Eu espero que tenha te dado
um pouco do caminho intuitivo. Eu vou fazer isso mais tarde
com exemplos mais concretos. E eu espero que você veja isso
de forma menos cabeluda do que a maneira que fizemos
com a adjunta, cofatores, matrizes menores,
determinantes, etc. Enfim, te vejo no próximo vídeo!