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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20
Lição 3: Operações elementares sobre as linhas de uma matrizOperações sobre linhas de uma matriz
Aprenda a executar as operações elementares nas linhas de uma matriz. Essas operações nos permitirão resolver sistemas lineares complicados com (relativamente) pouco aborrecimento!
Operações sobre as linhas de uma matriz
A tabela a seguir resume as três operações elementares sobre linhas de uma matriz.
Operação realizada na linha | Exemplo |
---|---|
Troque quaisquer duas linhas | |
Multiplique uma linha por uma constante diferente de zero | |
Some duas linhas |
As operações sobre linhas de uma matriz podem ser usadas para resolver sistemas de equações, mas antes de analisarmos o porquê, vamos praticar um pouco.
Troca de duas linhas
Exemplo
Realize a operação L, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, 2, end subscript na matriz a seguir.
Solução
L, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript significa a troca entre as linhas start color #11accd, 1, end color #11accd e start color #1fab54, 2, end color #1fab54.
Então, a matriz se torna .
Eventualmente, você vai se deparar com a seguinte notação, que é usada para indicar a troca.
Observe como a linha 1 substitui a linha 2 e a linha 2 substitui a linha 1. A terceira linha não sofre alterações.
Multiplicação de uma linha por uma constante diferente de zero
Exemplo
Realize a operação 3, L, start subscript, 2, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript na matriz a seguir.
Solução
start color #ca337c, 3, end color #ca337c, L, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, L, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript significa substituir a start color #e07d10, 2, start superscript, a, end superscript, end color #e07d10 linha por outra com start color #ca337c, 3, end color #ca337c vezes seu valor.
se torna
Para indicar esta operação sobre linhas, geralmente vemos a seguinte notação:
Observe que a segunda linha multiplicada por três substitui a segunda linha. As demais linhas permanecem as mesmas.
Adição de uma linha à outra
Exemplo
Realize a operação L, start subscript, 1, end subscript, plus, L, start subscript, 2, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript na matriz a seguir.
Solução
L, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, L, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript significa substituir a 2, start superscript, a, end superscript linha pela soma das start color #01a995, 1, start superscript, a, end superscript, end color #01a995 e start color #aa87ff, 2, start superscript, a, end superscript, end color #aa87ff linhas.
se torna
Para indicar esta operação sobre linhas, podemos utilizar a seguinte notação:
Observe como a soma da linha 1 e 2 substitui a linha 2. A outra linha permanece a mesma.
Sistemas de equações e operações sobre linhas de uma matriz
Lembre que, em uma matriz aumentada, cada linha representa uma equação no sistema e cada coluna representa uma variável ou termos constantes.
Por exemplo, o sistema da esquerda corresponde à matriz aumentada da direita.
Sistema | Matriz |
---|---|
Quando lidamos com matrizes aumentadas, podemos realizar qualquer uma das operações sobre linhas da matriz para criar uma nova matriz aumentada que produza um sistema equivalente de equações. Vamos dar uma olhada no porquê.
Trocando duas linhas quaisquer
Sistemas equivalentes | Matriz aumentada |
---|---|
\downarrow | |
Os dois sistemas na tabela acima são equivalentes, porque a ordem das equações não é importante. Isto quer dizer que ao usar uma matriz aumentada para resolver o sistema, nós podemos alternar duas linhas quaisquer.
Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero
Nós podemos multiplicar os dois lados de uma equação pela mesma constante diferente de zero para obter uma equação equivalente.
Às vezes fazemos essas operações para eliminar uma variável e resolver sistemas de equações. Como as duas equações são equivalentes, percebemos que os dois sistemas também são equivalentes.
Sistemas equivalentes | Matriz aumentada |
---|---|
\downarrow | |
Isto quer dizer que ao utilizar uma matriz aumentada para resolver um sistema, nós podemos multiplicar qualquer linha por uma constante diferente de zero.
Adição de uma linha à outra
Já sabemos que é possível somar quantidades iguais dos dois lados de uma equação para obter uma equação equivalente.
Então se A, equals, B e C, equals, D, então A, plus, C, equals, B, plus, D.
Fazemos isso frequentemente ao resolver sistemas de equações. Por exemplo, nesse sistema ,
podemos somar as equações para obter minus, y, equals, minus, 4.
Combinar essa nova equação com qualquer uma das equações originais criará um sistema de equações equivalentes.
Sistemas equivalentes | Matriz aumentada |
---|---|
\downarrow | |
Então ao se usar uma matriz aumentada para resolver o sistema, nós podemos somar uma linha à outra.
Note que a matriz original corresponde a , enquanto a matriz final corresponde a , que é simplesmente a solução.
O sistema foi inteiramente resolvido usando matrizes aumentadas e as operações sobre as linhas!
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- Olá, eu não entendi a multiplicação de uma linha por outra diferente de zero.. li várias vezes mas não consegui entender!(3 votos)
- No exemplo apresentado, cada termo da segunda linha é substituído pelo termo original multiplicado por 3.(2 votos)
- Estaria correto tambem se eu resolvesse no passo 2?
Ex: Somando L2 + L1 -> L1
1 1 5
0 -1 13
Obtenho
1 0 18
0 -1 13
Onde x = 18
E -y = 13 Transformando y = -13
Evitaria um Passo a mais uma vez que já eliminei a variável y no Passo 1. (Somando 2 com -2).(3 votos) - Para representar uma troca de linhas, seria por exemplo Rx <-> Ry.
E caso desejasse trocar colunas como ficaria a representaçao?(2 votos)- Ele está usando o R pois em inglês linha se escreve row.
Quanto às colunas (columns), em geral não há razão para você querer trocá-las de lugar.
Olhando o sistema, vemos que as primeiras colunas representam os termos à esquerda das igualdades. Como não faz diferença a ordem da adição (ou subtração) dos termos, o sistema não muda.
Já a última coluna representa os termos à direita da igualdade. Se você trocasse ela de posição com outra coluna, estaria representando um outro sistema, diferente do original. Chegaria à uma resposta errada.(2 votos)
- Olá eu não entendi o ultimo desafio. Queria saber mais(2 votos)
- A resposta correta para este desafio é como mostra esta figura:
https://postimg.cc/image/jsraw5tbz/
Isso, claro, de acordo com este site da khanacademy. Eu, já acho que o correto seria -8 no lugar de 18, na linha 1. Como mostra esta figura:
https://postimg.cc/image/71d4pp9a7/
Nesta última figura é possível ver a minha linha de raciocínio para chegar a resposta que acredito ser correta. Eu posso estar errado, por isso não deve tomar minha forma de pensar como correta, mas talvez ajude a entender alguma coisa nesta exercício.
Na verdade, eu acreditava que a forma correta de resolver era como fiz na coluna mais à direita, nesta segunda figura, mas depois de gastar mais de uma hora pensando, e, com ajuda da dica da @Rosangelamaia, pude chegar a resposta e procedimento que está à esquerda na figura.(1 voto)
- gente, eu posso fazer o seguinte quando estiver fazendo operações elementares L1 -> 2L1 - 4L3?(1 voto)