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Operações sobre linhas de uma matriz

Aprenda a executar as operações elementares nas linhas de uma matriz. Essas operações nos permitirão resolver sistemas lineares complicados com (relativamente) pouco aborrecimento!

Operações sobre as linhas de uma matriz

A tabela a seguir resume as três operações elementares sobre linhas de uma matriz.
Operação realizada na linhaExemplo
Troque quaisquer duas linhas[253346][346253]  (Troca entre as linhas 1 e 2.)
Multiplique uma linha por uma constante diferente de zero[253346][323533346] (A linha 1 é multiplicada por 3.)
Some duas linhas[253346][2533+24+56+3]  (A linha 2 se torna a soma das linhas 2 e 1.)
As operações sobre linhas de uma matriz podem ser usadas para resolver sistemas de equações, mas antes de analisarmos o porquê, vamos praticar um pouco.

Troca de duas linhas

Exemplo

Realize a operação L1L2 na matriz a seguir.
[483245712]

Solução

L1L2 significa a troca entre as linhas 1 e 2.
Então, a matriz [483245712] se torna [245483712].
Eventualmente, você vai se deparar com a seguinte notação, que é usada para indicar a troca.
[483245712]L1L2[245483712]
Observe como a linha 1 substitui a linha 2 e a linha 2 substitui a linha 1. A terceira linha não sofre alterações.
Problema 1
Realize a operação L2L3 na matriz a seguir.
[7296411312]

Multiplicação de uma linha por uma constante diferente de zero

Exemplo

Realize a operação 3L2L2 na matriz a seguir.
[661230459]

Solução

3L2L2 significa substituir a 2a linha por outra com 3 vezes seu valor.
[661230459] se torna [661323330459]=[661690459]
Para indicar esta operação sobre linhas, geralmente vemos a seguinte notação:
[661230459]3R2R2[661690459]
Observe que a segunda linha multiplicada por três substitui a segunda linha. As demais linhas permanecem as mesmas.
Problema 3
Realize a operação 2L1L1 na matriz a seguir.
[26517480]

Adição de uma linha à outra

Exemplo

Realize a operação L1+L2L2 na matriz a seguir.
[234081]

Solução

L1+L2L2 significa substituir a 2a linha pela soma das 1a e 2a linhas.
[234081] se torna [2342+03+84+1]=[2342115]
Para indicar esta operação sobre linhas, podemos utilizar a seguinte notação:
[234081]R1+R2R2[2342115]
Observe como a soma da linha 1 e 2 substitui a linha 2. A outra linha permanece a mesma.
Problema 5
Realize a operação L1+L3L3 na matriz a seguir.
[162350721]

Desafio
Realize a operação L1+2L3L1 na matriz a seguir.
[573214886]

Sistemas de equações e operações sobre linhas de uma matriz

Lembre que, em uma matriz aumentada, cada linha representa uma equação no sistema e cada coluna representa uma variável ou termos constantes.
Por exemplo, o sistema da esquerda corresponde à matriz aumentada da direita.
SistemaMatriz
1x+3y=52x+5y=6[135256]
Quando lidamos com matrizes aumentadas, podemos realizar qualquer uma das operações sobre linhas da matriz para criar uma nova matriz aumentada que produza um sistema equivalente de equações. Vamos dar uma olhada no porquê.

Trocando duas linhas quaisquer

Sistemas equivalentesMatriz aumentada
1x+3y=52x+5y=6[135256]
2x+5y=61x+3y=5[256135]
Os dois sistemas na tabela acima são equivalentes, porque a ordem das equações não é importante. Isto quer dizer que ao usar uma matriz aumentada para resolver o sistema, nós podemos alternar duas linhas quaisquer.

Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero

Nós podemos multiplicar os dois lados de uma equação pela mesma constante diferente de zero para obter uma equação equivalente.
Às vezes fazemos essas operações para eliminar uma variável e resolver sistemas de equações. Como as duas equações são equivalentes, percebemos que os dois sistemas também são equivalentes.
Sistemas equivalentesMatriz aumentada
1x+3y=52x+5y=6[135256]
2x+(6)y=102x+()5y=6[2610256]
Isto quer dizer que ao utilizar uma matriz aumentada para resolver um sistema, nós podemos multiplicar qualquer linha por uma constante diferente de zero.

Adição de uma linha à outra

Já sabemos que é possível somar quantidades iguais dos dois lados de uma equação para obter uma equação equivalente.
Então se A=B e C=D, então A+C=B+D.
Fazemos isso frequentemente ao resolver sistemas de equações. Por exemplo, nesse sistema 2x6y=102x+5y=6, podemos somar as equações para obter y=4.
Combinar essa nova equação com qualquer uma das equações originais criará um sistema de equações equivalentes.
Sistemas equivalentesMatriz aumentada
2x6y=102x+5y=6[2610256]
2x+(6)y=100x+(1)y=4[2610014]
Então ao se usar uma matriz aumentada para resolver o sistema, nós podemos somar uma linha à outra.
Conclusão do desafio
Uma sequência de operações sobre linhas é realizada na matriz [2210233]. A tabela abaixo descreve o resultado de cada passo da sequência.
Organize as operações sobre linhas de acordo com cada etapa.
Matriz original: [2210233]
1

Note que a matriz original corresponde a 2x+2y=102x3y=3, enquanto a matriz final corresponde a x=18y=13, que é simplesmente a solução.
O sistema foi inteiramente resolvido usando matrizes aumentadas e as operações sobre as linhas!

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