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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20

Lição 3: Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Matrizes
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
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Operações sobre linhas de uma matriz

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Aprenda a executar as operações elementares nas linhas de uma matriz. Essas operações nos permitirão resolver sistemas lineares complicados com (relativamente) pouco aborrecimento!

Operações sobre as linhas de uma matriz

A tabela a seguir resume as três operações elementares sobre linhas de uma matriz.
Operação realizada na linhaExemplo
Troque quaisquer duas linhas[253346]→[346253]  (Troca entre as linhas 1 e 2.)\left[\begin{array}{rr}{\blueD2} & {\blueD5} &{ \blueD{3}} \\ \greenD{3} &\greenD {4} &\greenD {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rr} \greenD{3} & \greenD{4} &\greenD {6}\\\blueD{2} &\blueD {5} &\blueD{ 3} \end{array}\right]\\\\~~\\ \\ {\text{(Troca entre as linhas 1 e 2.)}}
Multiplique uma linha por uma constante diferente de zero[253346]→[3⋅23⋅53⋅3346] (A linha 1 eˊ multiplicada por 3.)\left[\begin{array}{rr}{\maroonD2} & {\maroonD5} &{ \maroonD3} \\ {3} & {4} & {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}{\goldD3 \cdot \maroonD2} & {\goldD3 \cdot \maroonD5} &{ \goldD3 \cdot \maroonD3} \\ { 3} & { 4} & { 6} \end{array}\right] \\~\\ {\text{(A linha 1 é multiplicada por 3.)}}
Some duas linhas[253346]→[2533+24+56+3]  (A linha 2 se torna a soma das linhas 2 e 1.)\left[\begin{array}{rr}{\tealD2} &\tealD5 &{ \tealD{3}} \\ \purpleC{3} &\purpleC {4} &\purpleC {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr} {\tealD2} &\tealD5&{\tealD3}\\\purpleC{3}+\tealD2 & \purpleC{4}+\tealD5 &\purpleC{6} +\tealD3\end{array}\right]\\~~\\ {\text{(A linha 2 se torna a soma das linhas 2 e 1.)}}
As operações sobre linhas de uma matriz podem ser usadas para resolver sistemas de equações, mas antes de analisarmos o porquê, vamos praticar um pouco.

Troca de duas linhas

Exemplo

Realize a operação L, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, 2, end subscript na matriz a seguir.
[483245712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Solução

L, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript significa a troca entre as linhas start color #11accd, 1, end color #11accd e start color #1fab54, 2, end color #1fab54.
Então, a matriz [483245712]\left[\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] se torna [245483712]\left[\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] .
Eventualmente, você vai se deparar com a seguinte notação, que é usada para indicar a troca.
[483245712]→L1↔L2[245483712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] \xrightarrow{{L_1\leftrightarrow L_2}}\left[\begin{array} {rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 &8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]
Observe como a linha 1 substitui a linha 2 e a linha 2 substitui a linha 1. A terceira linha não sofre alterações.
Problema 1
  • Atual
Realize a operação L, start subscript, 2, end subscript, \leftrightarrow, L, start subscript, 3, end subscript na matriz a seguir.
[7296411312]\left[\begin{array} {rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array} \right]

Multiplicação de uma linha por uma constante diferente de zero

Exemplo

Realize a operação 3, L, start subscript, 2, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript na matriz a seguir.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Solução

start color #ca337c, 3, end color #ca337c, L, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, L, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript significa substituir a start color #e07d10, 2, start superscript, a, end superscript, end color #e07d10 linha por outra com start color #ca337c, 3, end color #ca337c vezes seu valor.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] se torna [6613⋅23⋅33⋅0459]=[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\cdot \goldD{2} &\maroonD{3}\cdot \goldD{3} &\maroonD{3}\cdot \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Para indicar esta operação sobre linhas, geralmente vemos a seguinte notação:
[661230459]→3R2→R2[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{3R_2\rightarrow R_2}\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Observe que a segunda linha multiplicada por três substitui a segunda linha. As demais linhas permanecem as mesmas.
Problema 3
  • Atual
Realize a operação 2, L, start subscript, 1, end subscript, right arrow, L, start subscript, 1, end subscript na matriz a seguir.
[26517480]\left[\begin{array} {ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right]

Adição de uma linha à outra

Exemplo

Realize a operação L, start subscript, 1, end subscript, plus, L, start subscript, 2, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript na matriz a seguir.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right]

Solução

L, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, L, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, L, start subscript, 2, end subscript significa substituir a 2, start superscript, a, end superscript linha pela soma das start color #01a995, 1, start superscript, a, end superscript, end color #01a995 e start color #aa87ff, 2, start superscript, a, end superscript, end color #aa87ff linhas.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right] se torna [2342+03+84+1]=[2342115]\left[\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
Para indicar esta operação sobre linhas, podemos utilizar a seguinte notação:
[234081]→R1+R2→R2[2342115]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1+R_2\rightarrow R_2} \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
Observe como a soma da linha 1 e 2 substitui a linha 2. A outra linha permanece a mesma.
Problema 5
  • Atual
Realize a operação L, start subscript, 1, end subscript, plus, L, start subscript, 3, end subscript, right arrow, L, start subscript, 3, end subscript na matriz a seguir.
[−16−2−350721]\left[\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array} \right]

Desafio
Realize a operação L, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, L, start subscript, 3, end subscript, right arrow, L, start subscript, 1, end subscript na matriz a seguir.
[−573−2−1488−6]\left[\begin{array} {rrr} -5 & 7 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 8 & 8 & -6 \end{array} \right]

Sistemas de equações e operações sobre linhas de uma matriz

Lembre que, em uma matriz aumentada, cada linha representa uma equação no sistema e cada coluna representa uma variável ou termos constantes.
Por exemplo, o sistema da esquerda corresponde à matriz aumentada da direita.
SistemaMatriz
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} 1x+3y &=5\\2x+5y &=6\end{aligned}[135256]\left[\begin{array}{cc:c}1&3&5\\\\2&5&6\end{array}\right]
Quando lidamos com matrizes aumentadas, podemos realizar qualquer uma das operações sobre linhas da matriz para criar uma nova matriz aumentada que produza um sistema equivalente de equações. Vamos dar uma olhada no porquê.

Trocando duas linhas quaisquer

Sistemas equivalentesMatriz aumentada
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{cc:c}\blueD1&\blueD3&\blueD5\\\\\greenD2&\greenD5&\greenD6\end{array}\right]
\downarrow
2x+5y=61x+3y=5\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}[256135]\left[\begin{array}{cc:c}\greenD2&\greenD5&\greenD6\\\\\blueD1&\blueD3&\blueD5\end{array}\right]
Os dois sistemas na tabela acima são equivalentes, porque a ordem das equações não é importante. Isto quer dizer que ao usar uma matriz aumentada para resolver o sistema, nós podemos alternar duas linhas quaisquer.

Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero

Nós podemos multiplicar os dois lados de uma equação pela mesma constante diferente de zero para obter uma equação equivalente.
Às vezes fazemos essas operações para eliminar uma variável e resolver sistemas de equações. Como as duas equações são equivalentes, percebemos que os dois sistemas também são equivalentes.
Sistemas equivalentesMatriz aumentada
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\2x+5y &=6\end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{cc:c}\maroonD1 & \maroonD3 &\maroonD5 \\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
−2x+(−6)y=−102x+(−)5y=6\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\2x+\phantom{(-)}5y &=6\end{aligned} [−2−6−10256]\left[\begin{array}{rr:r}\goldD{-2}&\goldD{-6}& \goldD{-10}\\2&5&6\end{array}\right]
Isto quer dizer que ao utilizar uma matriz aumentada para resolver um sistema, nós podemos multiplicar qualquer linha por uma constante diferente de zero.

Adição de uma linha à outra

Já sabemos que é possível somar quantidades iguais dos dois lados de uma equação para obter uma equação equivalente.
Então se A, equals, B e C, equals, D, então A, plus, C, equals, B, plus, D.
Fazemos isso frequentemente ao resolver sistemas de equações. Por exemplo, nesse sistema −2x−6y=−102x+5y=6\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}, podemos somar as equações para obter minus, y, equals, minus, 4.
Combinar essa nova equação com qualquer uma das equações originais criará um sistema de equações equivalentes.
Sistemas equivalentesMatriz aumentada
−2x−6y=−102x+5y=6\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\2x+5y &=6\end{aligned} [−2−6−10256]\left[\begin{array}{rr:r}-2&-6&-10\\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
−2x+(−6)y=−100x+(−1)y=−4\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}[−2−6−100−1−4]\left[\begin{array}{rr:r}-2&-6&-10\\\purpleC0&\purpleC{-1}&\purpleC{-4}\end{array}\right]
Então ao se usar uma matriz aumentada para resolver o sistema, nós podemos somar uma linha à outra.
Conclusão do desafio
Uma sequência de operações sobre linhas é realizada na matriz [2210−2−33]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right]. A tabela abaixo descreve o resultado de cada passo da sequência.
Organize as operações sobre linhas de acordo com cada etapa.
Matriz original: [2210−2−33]\left[\begin{array}{rr:r}2&2&10\\-2 & -3 & 3\end{array}\right]

Note que a matriz original corresponde a 2x+2y=10−2x−3y=3\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned}, enquanto a matriz final corresponde a x=18y=−13\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned}, que é simplesmente a solução.
O sistema foi inteiramente resolvido usando matrizes aumentadas e as operações sobre as linhas!

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  • Avatar piceratops tree style do usuário Pedro
    Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Estaria correto tambem se...” de Pedro
    Estaria correto tambem se eu resolvesse no passo 2?

    Ex: Somando L2 + L1 -> L1

    1 1 5
    0 -1 13

    Obtenho
    1 0 18
    0 -1 13

    Onde x = 18
    E -y = 13 Transformando y = -13

    Evitaria um Passo a mais uma vez que já eliminei a variável y no Passo 1. (Somando 2 com -2).
    (2 votos)
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Izabella Silva
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Olá, eu não entendi a mul...” de Izabella Silva
    Olá, eu não entendi a multiplicação de uma linha por outra diferente de zero.. li várias vezes mas não consegui entender!
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário Felipe Camargo
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Olá eu não entendi o ulti...” de Felipe Camargo
    Olá eu não entendi o ultimo desafio. Queria saber mais
    (1 voto)
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    • Avatar leafers sapling style do usuário Raniere S
      Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “A resposta correta para e...” de Raniere S
      A resposta correta para este desafio é como mostra esta figura:
      https://postimg.cc/image/jsraw5tbz/
      Isso, claro, de acordo com este site da khanacademy. Eu, já acho que o correto seria -8 no lugar de 18, na linha 1. Como mostra esta figura:
      https://postimg.cc/image/71d4pp9a7/
      Nesta última figura é possível ver a minha linha de raciocínio para chegar a resposta que acredito ser correta. Eu posso estar errado, por isso não deve tomar minha forma de pensar como correta, mas talvez ajude a entender alguma coisa nesta exercício.

      Na verdade, eu acreditava que a forma correta de resolver era como fiz na coluna mais à direita, nesta segunda figura, mas depois de gastar mais de uma hora pensando, e, com ajuda da dica da @Rosangelamaia, pude chegar a resposta e procedimento que está à esquerda na figura.
      (1 voto)
  • Avatar blobby green style do usuário mrlzcr
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Para representar uma troc...” de mrlzcr
    Para representar uma troca de linhas, seria por exemplo Rx <-> Ry.
    E caso desejasse trocar colunas como ficaria a representaçao?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar blobby green style do usuário Renato
      Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Ele está usando o R pois ...” de Renato
      Ele está usando o R pois em inglês linha se escreve row.
      Quanto às colunas (columns), em geral não há razão para você querer trocá-las de lugar.
      Olhando o sistema, vemos que as primeiras colunas representam os termos à esquerda das igualdades. Como não faz diferença a ordem da adição (ou subtração) dos termos, o sistema não muda.
      Já a última coluna representa os termos à direita da igualdade. Se você trocasse ela de posição com outra coluna, estaria representando um outro sistema, diferente do original. Chegaria à uma resposta errada.
      (1 voto)
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