Introdução às matrizes inversas

RKA18MP - Aprendemos sobre soma, subtração e multiplicação de matriz. Então você deve pensar: existe o equivalente à divisão de matriz? Antes de entrar nesse assunto, vou apresentar alguns conceitos e a gente vai ver que tem alguma coisa, que talvez não seja exatamente a divisão, mas é análogo a isso. Vou apresentar o conceito de matriz identidade. Vou denotar matriz identidade pela letra maiúscula L. L. Quando multiplico a matriz identidade por outra matriz, na verdade, não sei se devo escrever esse ponto... Mas, de qualquer forma, quando multiplico por outra matriz, obtenho como resultado essa outra matriz, ou quando multiplico essa matriz vezes a matriz identidade, obtenho essa matriz de novo. E é importante perceber que, quando estamos fazendo a multiplicação de matrizes, a ordem importa muito. Eu já falei que não dá para assumir quando faz multiplicação de matrizes que "A" vezes "B" é sempre igual a "B" vezes "A". É importante considerar a ordem que faz a multiplicação. Se forem matrizes quadradas, a multiplicação poderá ser feita de duas formas: "A" por "B" e "B" por "A", por isso a ordem importa. E você pode pensar em relação a como aprendemos a multiplicar matrizes, mas, de qualquer forma, já deferi essa matriz. Agora, como essa matriz se parece? Na verdade, é bastante simples. Se tiver uma matriz 2 por 2, a matriz identidade é 1, 0, 0, 1. Se quiser 3x3, é 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. E acho que vê o modelo. Se quiser um 4x4, a matriz identidade é: 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1. Para uma dada dimensão, quero dizer que dá para estender essa regra para matriz "n" por "n", porque você só tem números 1 na diagonal principal, que começa à esquerda de cima para baixo, e vai andando uma coluna conforme desce uma linha para a direita. Observe o vídeo que fica fácil de entender, e o resto dos elementos são iguais a zero. Vamos provar que funciona de verdade fazer essa matriz vezes outra matriz, conforme que esta matriz não muda. Se a gente pegar 1, 0, 0, 1, vamos multiplicar vezes, vamos fazer uma matriz geral apenas para ver que funciona para todos os números, "a", "b", "c", "d". Então isso é igual a quanto? Vamos multiplicar essa linha vezes essa coluna. 1 vezes "a" + zero vezes "c" é "a". E esta linha vezes essa coluna. 1 vezes "b" + zero vezes "d", é "b". Então esta linha vezes essa coluna: zero vezes "a" + 1 vezes "c" é "c". Finalmente, esta linha vezes essa coluna: zero vezes "b" + 1 vezes "d", bom, é "d". E aí está. Pode ser um exercício divertido tentar de outra forma. E, na verdade, é um exercício até melhor tentar com uma matriz 3x3, vai ver como funciona. Um bom exercício é pensar sobre como funciona. Se pensar, é porque está obtendo informação de linha daqui e essa informação de coluna daqui. Essencialmente, no momento que está multiplicando este vetor vezes este vetor, está multiplicando os termos correspondentes e o somando, certo? Se tiver um 1 e um zero, o zero irá cancelar qualquer coisa, exceto o primeiro termo nesse vetor coluna. Então é por isso que sobra "a". É por isso que tudo vai ser cancelado, menos o primeiro termo nesse vetor de coluna. E é por isso que sobra o "b". Da mesma forma, vai cancelar tudo menos o segundo termo, por isso que só sobra um "c" ali. Isto vezes isso, sobra o "c". Isto vezes isso, sobra o "d". E a mesma ideia se aplica quando multiplica uma matriz 3x3 ou "n por n" pela matriz identidade, que é bem interessante. Agora, se quisesse completar a nossa analogia, vamos pensar sobre isso. A gente sabe que em matemática, se eu tiver 1 vezes "a", tenho "a". E também sabemos que 1 sobre "a", vezes "a", é apenas matemática e não tem nada a ver com matrizes, que é igual a 1. A gente chama de inverso de "a", ou falamos que dividimos pelo número "a". Existe uma analogia disso com matrizes? Melhor trocar as cores porque usei muito esse verde. Tem uma matriz que, se multiplicada por uma matriz "A", e eu vou chamar de inversa de "A" (A⁻¹). Existe uma matriz que multiplicada por outra matriz "A" resulta na matriz identidade? A matriz identidade é equivalente ao 1 na nossa matemática. Se multiplica uma matriz por ela, o resultado é a própria matriz. Seria muito legal se pudesse trocar a ordem da multiplicação, então o inverso de "A" vezes "A" deve ser igual a matriz identidade. E, se pensar sobre se as duas coisas forem verdade, na verdade, a matriz "A" é a inversa da inversa de "A", elas são inversas uma da outra, e tudo acaba virando uma matriz, que é chamada de inversa de "A", como já disse umas três vezes. Agora vou mostrar como calcular. Vamos lá. E vamos calcular isto para uma multiplicação 2x2, que é bem simples. Você deve pensar que é meio misterioso como as pessoas fizeram um algoritmo para isso. 3x3 fica um pouco difícil. 4x4 irá tomar todo o seu dia. Na 5x5, dá para cometer um erro por descuido, e tem muita conta para um 5x5. Mas, de qualquer forma, como calcular a matriz inversa? Vamos confirmar que realmente é o inverso. Então se eu tiver uma matriz "A" com elementos "a", "b", "c", "d". "a", "b", "c", "d", e quiser calcular sua inversa, sua inversa é, na verdade, em vídeos futuros eu vou despertar um pouco mais de intuição sobre o porquê funciona, mas agora é melhor só memorizar os passos para ter a confiança de que você sabe que dá para calcular uma matriz inversa. É igual a 1 sobre "a" vezes "d", menos "b" vezes c", ad - bc. Esta quantidade, ad - bc, é chamada de determinante da matriz "A" e vamos multiplicar isto, que é um número, é uma quantidade escalar. E vamos multiplicar por... Você troca o "a" e o "d" e troca os elementos "a" e "d" de um lugar para o outro, troca também o sinal desses dois, faz o de baixo à esquerda e o da direita em cima e deixa negativo. Então: -c, -b. E o determinante? Mais uma vez, é uma coisa que vai ter que acreditar. Nos próximos vídeos, eu prometo explicar. É um pouco avançado aprender sobre determinantes. Quanto é o determinante de "A"? Isso também é chamado de determinante de "A". Então pode descobrir o determinante de "A". Deixa eu te dizer: é denotado por "A" com duas barras, como se fosse o valor absoluto, e é igual a "ad - bc". Então, outra forma de chamar essa razão, poderia ser: 1 sobre o determinante de "A". Dá para escrever o inverso de "A" é igual a 1 sobre o determinante de "A", que é "a" vezes "d", "- b", "- c". Enfim, olhe para isso. Vamos aplicar ao problema real, e você vai ver que, na verdade, não é tão ruim. Vamos trocar as letras só para saber que nem sempre tem que ser um "A". Digamos que eu tenho uma matriz "B", e ela é 3, vou só pegar números aleatórios, - 4, 2, -5. Vamos calcular o inverso de "B". O inverso de "B" será igual a 1 sobre o determinante de "B". Qual é o determinante de "B"? É 3 vezes -5 menos 2 vezes -4. 3 vezes -5 é -15. menos 2 vezes -4... 2 vezes -4 é -8, vamos subtrair, é + 8, e vamos multiplicar isso vezes quanto? A gente troca esses dois termos. Então é -5 e 3. -5 e 3. E acabamos de fazer esses dois termos: -2 e 4. 4 era -4, então agora se torna 4. Vamos ver se dá para simplificar. Inverso de B é igual a -15 + 8, é -7, então é -1/7. O determinante de "B". A gente escreve que o determinante de "B" é igual a -7, e é -1/7 vezes -5, 4, -2, 3, que é igual a... É um escalar, que é só um número. Multiplicamos vezes cada um dos elementos, então é igual a 5 sétimos, 5/7, -4/7. Vamos ver, 2/7 e -3/7. É. É um tanto difícil. Acabamos com frações aqui, mas vamos confirmar que é mesmo o inverso da matriz "B". Vamos multiplicar. Antes de fazer aquilo, eu tenho que abrir um espacinho aqui, nem preciso mais disso. Aí está. Ok. Vamos confirmar que isto vezes isto, ou vezes aquilo, é igual à matriz de identidade. Então, vamos fazer. Deixa eu trocar as cores. O inverso de "B" é 5/7, se eu não tiver cometido nenhum erro, -4/7, 2/7 e -3/7. É o inverso de "B". Vou multiplicar por "B": 3, -4, 2, -5. E isso vai ser a matriz do produto. Preciso de algum espaço para fazer meus cálculos. Agora é pegar esta linha vezes esta coluna. Esta linha vezes esta coluna. 5/7 vezes 3 é quanto? 15/7 mais -4/7 vezes 2. Então -4/7 vezes 2 é menos, deixa eu garantir que está certo, 5 vezes 3 é 15/7. menos 4 vezes 2, então -8/7. Agora, vamos multiplicar essa linha vezes essa coluna: 5 vezes -4 é -20/7 mais -4/7 vezes -5 é +20/7. Meu cérebro está começando a ficar lento aqui tendo que fazer as multiplicações de matrizes com frações de números negativos. Ah, mas esse é um bom exercício para as partes múltiplas do cérebro. Mas, mesmo assim, a gente vai fazer esse termo aqui. Agora, vamos multiplicar essa linha vezes esta coluna: 2/7 vezes 3 é 6/7, mais -3/7 vezes 2 é -6/7. Um termo à esquerda, direto ao ponto. 2/7 vezes -4 é -8/7, mais -3/7 vezes -5. Aqueles negativos são cancelados e nos sobra + 15/7. E, se simplificar, quanto tem? 15/7 - 8/7 é 7/7, só é 1. Isso é zero, claramente. Isso é zero. 6/7 - 6/7 é zero. E -8/7 + 15/7 é 7/7, é 1 de novo. E aí, você tem, na verdade, fizemos para inverter essa matriz, e foi mais difícil provar que era o inverso pela multiplicação apenas porque tivemos que fazer toda essa fração e mexer com números negativos, mas espero que tenha te deixado satisfeito. Dá para tentar de outra forma para confirmar que, se multiplicar isso de um jeito diferente, também teria matriz de identidade. Mas, enfim, isso é como calculo inverso de 2x2 e, como vamos ver no próximo vídeo, calcular o inverso da matriz 3x3 é ainda mais legal. Até!