Como determinar matrizes inversíveis

RKA2MP - Talvez, ainda mais interessante do que encontrar a inversa de uma matriz é tentar determinar quando a inversa de uma matriz não existe, ou quando ela é indefinida. E uma matriz quadrada para a qual não existe inversa ou essa inversa é indefinida é chamada de "matriz singular". Vamos pensar em como uma matriz singular pode se parecer e como ela vai ser aplicada a diferentes problemas em que usamos matrizes. Suponhamos que a gente tenha uma matriz "A" aqui. Eu vou fazer uma matriz quadrada 2 por 2, que é uma matriz quadrada bem simples, mas que pode ser estendida para qualquer outro tamanho de matriz quadrada. Esta matriz vai ter os elementos "a", "b", "c" e "d". O que eu quero saber é: qual vai ser a inversa desta matriz? Espero que seja natural para você. A inversa desta matriz é 1 sobre a determinante de "A", vezes a adjunta de "A". Neste caso, a adjunta vai ser a gente trocar estes termos. Vamos ficar com "d" e "a" aqui e os outros dois termos vão ficar negativos. Aqui nós teremos "-b" e "-c". Mas a minha pergunta para você é: o que vai ser esta expressão toda? Bem, não importa quais números eu vou ter aqui. Se eu tiver números definidos, vai ficar fácil. Vou poder trocar estes dois, torná-los negativos e ter esta parte da expressão. Mas o que me causaria um grande problema seria se eu tivesse um zero bem aqui, se o determinante da matriz "A" for indefinido. Então, a gente pode dizer que a matriz inversa de "A" vai ser indefinida se, e somente se (estou colocando bem grande) Ela vai ser indefinida se, e somente se, a determinante da matriz "A" for igual a zero. Outra maneira a gente pensar é: se o determinante de alguma matriz for igual a zero, essa matriz será uma matriz singular e ela não tem inversa, ou a inversa é indefinida. Vamos pensar em termos conceituais, pelo menos para estes dois problemas que vimos. O que um fator determinante zero quer dizer e, se conseguimos, intuitivamente, entender por que não há inversa quando isso acontece. Qual seria o determinante desta matriz 2 por 2? O determinante de "A" é igual a o quê? Determinante de "A" vai ser igual, neste caso, a "a" vezes "d", menos "b" vezes "c". Vai ser igual a "a" vezes "d" menos "b" vezes "c". Esta matriz vai ser singular, ou não tem inversa, se esta expressão for igual a zero. Deixe-me escrever isso: se "ad" for igual a "bc". Podemos manipular as coisas também e dizer que "a" sobre "b" tem que ser igual a "c" sobre "d". Na verdade, o que eu fiz foi dividir ambos os lados por "b" e, depois, ambos os lados por "d". Então, se a razão a/b for igual à razão c/d, não teremos matriz inversa. Outra maneira de escrever isso: a gente pode dividir ambos os lados por "c" e ambos os lados por "d". Nós teríamos, também: se a/c for igual a b/d. É uma outra maneira de dizer que esta matriz é singular, que na verdade é a mesma coisa, porque isto só vai ser verdade se isto for verdade também. É apenas uma mudança causada por uma manipulação algébrica. Você pode parar para pensar no motivo disso acontecer, de esta proporção ser a mesma, a/b ser a mesma coisa que c/d. Mas, de qualquer maneira, não quero te confundir. Vamos ver como isso aparece em alguns problemas que nós verificamos. Vamos dizer que nós queremos verificar um problema. Vamos dizer que nós temos uma matriz que representa uma equação linear. A matriz está aqui, os elementos dela serão [a, b, c, d] e ela vai estar sendo multiplicada por [x, y]. Vamos multiplicá-la por [x, y]. E isso vai ser igual a dois termos que nós ainda não usamos. Vamos dizer que isso vai ser igual a [e, f]. Se a gente tem uma matriz representando um problema de uma equação linear, esse problema linear poderia ser traduzido como "a" vezes "x", mais "b" vezes "y" igual a "e" e "c" vezes "x", mais "d" vezes "y" igual a "f". E nós gostaríamos de saber onde estes dois se interceptam, porque essa seria a solução, ou o vetor solução desta equação. Para o entendimento visual de como ficariam estas duas linhas, vou isolar o "y" nas duas equações. Nesta primeira equação nós teríamos o quê? Nós teríamos que "y" é igual a "-a" sobre "b", vezes "x", mais "e" sobre "b". Estou pulando algumas etapas, mas eu apenas subtraí "a vezes x" de ambos os lados, depois dividi ambos os lados por "b" e você vai ter esta equação. E esta equação, isolando "y", nós teríamos o quê? Nós vamos ter "-c" sobre "d", vezes "x", mais "f" sobre "d". Agora vamos destacar isto, porque eu quero que a gente analise e pense sobre estas duas equações. O que estas duas equações têm de similar, têm de semelhante com esta igualdade bem aqui? O que a gente pode dizer sobre essa semelhança? Nós dissemos que, se isto for verdade, não temos determinante. Esta matriz torna-se uma matriz singular, que não tem inversa. E, já que não tem inversa, nós não podemos resolver esta equação multiplicando ambos os lados pelo inverso, porque esse inverso não existe. Vamos analisar isso. Bem, se isto aqui for verdade, nós não temos determinante. Mas o que significa, em termos, para estas equações aqui, a/b ser igual a c/d? Se a/b e c/d forem a mesma coisa, a gente vai ter que estas duas retas terão a mesma inclinação. Estas duas linhas vão ter a mesma inclinação. Se elas terão a mesma inclinação e estas duas expressões forem diferentes, o que a gente consegue saber sobre elas? Se estas duas linhas tiverem a mesma inclinação e diferentes pontos de interceptação no eixo "y", elas nunca irão se cruzar. Serão paralelas. Vou desenhar para ficar mais claro. Deixe-me, primeiro, fazer os eixos. Vamos fazer os eixos "x" e "y". Eu vou desenhar, primeiro, a linha desta equação aqui. Se esta equação está com este número negativo, esta inclinação negativa, a linha que eu vou desenhar também tem que ser uma linha com uma inclinação negativa. Algo mais ou menos como isto. E vai interceptar o eixo "y" bem neste ponto, que é o ponto e/b. Vai interceptar neste ponto e/b e eu desenhei referente a esta equação aqui. Vamos, agora, ver a segunda linha. Deixe-me fazê-la de uma cor diferente. A segunda linha eu não sei se vai ser acima ou abaixo desta, mas sei que vai ser paralela. Então, é algo mais ou menos como isto. É uma linha paralela e vai interceptar o eixo "y" neste ponto, que é o ponto f/d. Eu desenhei referente a esta equação aqui. Na verdade, até haveria uma solução se alguém resolvesse pelo método da substituição normal, tradicional. Ou aquele método da adição e depois substituição para sistemas de equações lineares. Mas isso só seria possível se a/b não fosse igual a c/d. Uma forma de observar, então, se uma matriz é singular, é verificar se ela possui linhas paralelas. Você até poderia dizer: "Ah, mas estas duas linhas se cruzam, se e/b for igual a f/d." Se eles forem iguais, exatamente o mesmo número, estas duas retas seriam idênticas. E elas não só se cruzariam, mas se cruzariam em um número infinito de lugares. Ainda assim, você não teria nenhuma solução única. Não seria apenas uma única solução. Seria verdadeiro para todos os valores de "x" e "y" que pertencessem à equação. Assim, você consegue saber qual tipo é quando você aplica a matriz para esse problema. A matriz é singular quando as duas linhas que estão representando as equações são paralelas ou são exatamente a mesma linha. Ou elas são paralelas e nunca irão se cruzar, ou elas são exatamente a mesma linha e se cruzam em um número infinito de pontos. Isso faz mesmo sentido, porque a inversa não vai estar definida. Vamos pensar sobre isso no contexto de combinações lineares de vetores. Vamos apagar esta parte. Quando a gente pensa em combinações lineares de vetores, pode dizer que isto aqui é a mesma coisa que o vetor "ac" vezes "x", mais o vetor "bd" vezes "y". E isso vai ter que ser igual ao vetor "ef". Vamos pensar um pouco. Nós estamos dizendo que existe alguma combinação entre os vetores "ac" e "bd" que equivale ao vetor "ef". Mas nós já dissemos que não temos inversa aqui, porque o determinante é zero. E, se o determinante é zero, nós sabemos que, neste caso, "ac" é igual a "bd". Nós vamos ter ac = bd. E aí eu quero saber: o que isto me diz? Vamos desenhar. Talvez até fosse mais fácil exemplificar isto com números, mas eu quero que você obtenha essa noção intuitiva. Eu vou desenhar tudo isto no primeiro quadrante. Vamos assumir que ambos estes setores estão no primeiro quadrante. Vamos desenhar os eixos, então. E aí, a gente vai ver como vai ficar o primeiro vetor: "ac". Vou desenhá-lo de outra cor. Eu vou tomar que aqui seja o ponto "a" e aqui vai ser o ponto "c". Logo, este ponto vai ser o vetor "ac". Vou desenhá-lo aqui, para ficar de maneira bem correta. Aqui vai estar a seta. Este é o vetor "ac". Vamos olhar agora para o vetor "bd". Como vai ser o vetor "bd"? Deixe-me fazê-lo de outra cor. O vetor "bd" eu poderia, arbitrariamente, colocar em qualquer lugar aqui. Mas eu sei que esta matriz tem determinante igual a zero. E a gente sabe que, se o determinante é igual a zero, a/c tem que ser igual a b/d. Ou, eu também poderia colocar, que c/a tem que ser igual a d/b. Enfim, o que eu quero dizer é que eles devem ter a mesma inclinação. A inclinação tem que ser a mesma. Eu posso até mudar a magnitude, mas eu não vou poder mudar a inclinação. A inclinação vai ter que ser a mesma do vetor "ac". Então, eu vou supor, por exemplo, que aqui vai estar o ponto "b", aqui vai estar o "d" e e eu posso dizer que aqui vai ser o vetor "bd". Ele vai partir, também, do ponto zero e vai chegar até aqui. Pode ter magnitude diferente, a gente está fazendo a magnitude como sendo diferente, mas a inclinação tem que ser a mesma. Não tem como mudar, a inclinação do vetor vai ser a mesma. A gente até poderia ter a amplitude diferente, mas a minha questão para você é: em relação ao vetor "ef"... Bom, vamos primeiro desenhar o vetor "ef". Vou dizer que aqui vai ser o ponto "e" e aqui vai ser o ponto "f". Nós vamos ter, então, o vetor "ef" bem aqui. Em relação a este vetor "ef", o que eu quero saber é: existe alguma maneira de a gente fazer combinação (ou somando ou subtraindo, alguma combinação) entre estes vetores aqui e obter este vetor "ef"? Bem, não. Você até pode adicionar e subtrair escalares a estes vetores e tudo que você vai conseguir fazer é uma espécie de movimento ao longo desta linha. Você vai poder até obter qualquer outro vetor, porque há múltiplos destes vetores, mas como estes dois vetores possuem a mesma direção, você não conseguirá obter um outro vetor com uma direção diferente desta. Portanto, se este vetor estiver em uma direção diferente, não há solução aqui. Se, por acaso, este vetor estivesse na mesma direção, então, existiria solução: você poderia obtê-lo com a mesma direção. Mas seria um número infinito de soluções em termos de "x" e "y". Mas, se o vetor for ligeiramente diferente em relação à direção, não há solução. Não há nenhuma combinação deste vetor com este vetor que poderá resultar neste vetor. E isso é algo para você pensar. Pode parecer óbvio, mas uma outra maneira de pensarmos a respeito disso é: quando você está tentando fazer soma de vetores para chegar em qualquer outro vetor com uma direção diferente, você precisa ter um vetor em uma direção e um outro vetor em uma outra direção diferente, para que consiga chegar neste vetor resultante, que terá direção diferente também. Mas, se ambos os vetores estiverem com a mesma direção, com a mesma inclinação, não há maneira de você chegar em um outro vetor com inclinação diferente. Bem, isto provavelmente é uma explicação redundante, mas eu espero que tenha lhe dado um pouco de intuição, até porque você já sabe algumas coisas. Você sabe o que é uma matriz singular, você sabe quando não conseguimos encontrar o inverso de uma matriz, sabe que, quando o determinante for zero, não haverá inverso da matriz e espero que tenha entendido o porquê disso, porque este é o foco do vídeo. Se você estiver olhando para o problema em termos de vetores, você vai perceber que não há nenhuma combinação entre os vetores que fará com que você chega ao vetor solução. Se você estiver olhando para o problema em termos de equação, você vai perceber que as duas linhas, ou elas serão paralelas ou elas serão a mesma linha e aí também não haverá solução. Tudo isso com o determinante sendo zero. Bom, de qualquer forma, a gente se vê em um próximo vídeo!